קוד:קריטריון לנורמליות

הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

ננסה כעת למצוא קריטריונים לנורמליות ולאוניטריות של אופרטור.

\begin{thm} קריטריון לנורמליות

אופרטור $T:V\rightarrow V$ הוא נורמלי אם ורק אם לכל $v\in V$ מתקיים $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|$.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Leftarrow}$] נניח ש-$T$ נורמלי, אזי $TT^*=T^*T$. $$\left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left (v \right ),T\left (v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle$$ $$\left \| T^*\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T^*\left(v \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,\left(T^* \right )^*T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,TT^*\left(v \right ) \right \rangle$$

\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח שלכל $v\in V$, $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|$.

נוכיח קודם שלכל $u,v\in V$, מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$. ניעזר בזהות הפולרית: $$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+T\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+iT\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )$$

לפי אותם החישובים ל-$T^*$, $$\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T^*\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T^*\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T^*\left(v \right ) \right \|^2 \right )$$

נקבל שלכל $u,v\in V$, מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$. מצד שני, על פי הגדרת ההעתקה הצמודה, מתקיים $$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle$$ $$\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle$$

לכן $\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle$ לכל $u,v\in V$.

כלומר, לכל $u,v\in V$ מתקיים $\left \langle u,T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right ) \right \rangle=0$.

נבחר $u=T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right )$. לפי האי-שליליות, נקבל $T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right )=0$ לכל $v\in V$, כלומר $T^*T-TT^*=0$ אופרטור האפס, לכן $T^*T=TT^*$, כלומר $T$ נורמלי.

\end{description}

\end{proof}