נקודת פיתול
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־00:26, 8 במרץ 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד...")
הגדרה
תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a.
a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד של a הפונקציה f גבוהה או שווה למשיק ל-a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
משפט. תהי f גזירה פעמיים בסביבה של a כך שבצד אחד של a בסביבה הנגזרת השנייה אי שלילית ובצד השני אי חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.
הוכחה.
לפי טיילור מתקיים:
- .
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הינו
כיוון שהנקודה c נמצא בין x לבין a, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי שלילי בצד אחד, ואי חיובי בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול כפי שרצינו.