האינטגרל המסויים (המשך)
דוגמאות
.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
. לכן
.
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב:
ולכן
.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r.
. לכן השטח הוא
. נציב
ואז
הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה
היינו צריכים לבחור
כך ש-
, אבל עבור מעגל שרדיוסו r מתחלק ב-4 עם שארית 1 היינו יכולים לבחור גם
כי אז
, ועבור
יכולנו לבחור
. אם כן היינו מוצאים
הטעות נובעת מכך שקבענו ש-, מה שנכון רק כאשר
. הטווח של האינטגרציה היה
, שכולל תחומים בהם
. בתחומים אלה צריך לבחור
ולחלק את הקטע
לתחומים שונים לפי הסימן של
.
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע
מתקיים
כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא
.
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף
בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור
קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו -
. כעת נניח ש-
רציפה ב-
ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של
,
. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל
מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום
ומינימום
בקטע זה. נסמן ב-
הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים
. יוצא שהנפח בסה"כ הוא
ומתקיים
. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק
ובצד שמאל
עבור חלוקה P. נשאיף
וכיוון ש-f רציפה גם
רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול:
.
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4)
. לפי זה הנפח הוא
כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
- תהא f מוגדרת ורציפה ב-
ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל
נגדיר חלוקה
של הקטע לקטעים שווים
. כאשר
. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא
. לפי בחירת
, לכל k מתקיים
ונובע:
(כאשר
הוא סכום רימן). נשאיף
ומכיוון שבמקרה כזה
מצאנו שהממוצע של f שואף ל-
. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת (אינטואיטיבית): אם
רציפה אז
הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
- אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-
נעשה חלוקה
של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות
, כאשר לכל k
. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י
, כאשר
הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-
. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל
ואפשר להגדיר את L ע"י
. לפי זה L תמיד מוגדר
.
דוגמה: נגדיר. היא רציפה בקטע הסגור
אבל אורך הגרף הוא
.
גרף (5). ראינו ש-(ע"פ משפט לגראנז' ישכאלה כך ש-
והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה
. היה נתון ש-
רציפה ולכן גם
רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל
. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף
. נוכיח זאת: נגדיר
וכן
ונניח
. יהי
נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של
כך ש-
. אם Q' עידון של Q אז
ולכן
. כעת נתון ש-
רציפה ולכן
אינטגרבילית ב-
. לפיכך קיימת
כך שאם P חלוקה כלשהי של
כך ש-
ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז
. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-
. כבר למדנו ש-
הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק
ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-
ומכאן נובע שהם שווים.