התכנסות במ"ש (המשך)
משפט: במ"ש בקטע I אם"ם לכל
יש
כך שלכל
מתקיים
.
דוגמה 1
תהי . קבעו התכנסות בכל אחד מהקטעים הבאים:
-
עבור
- בקטע
פתרון
פונקציית הגבול היא .
- נראה התכנסות במ"ש ב-
:
.
- נראה שההתכנסות נקודתית בלבד ב-
:
.
דוגמה 2
קבע האם מתכנסת במ"ש ב-
.
פתרון
קל לראות ש-. נבדוק התכנסות במ"ש:
. נחפש מקסימום:
וקל לראות שעבור
הנגזרת אכן מתאפסת. ברור ש-
מונוטונית יורדת ב-
ולכן זו אכן נקודת מקסימום. מתקיים
ולכן
.
דוגמה 3
תהי סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקציה f, האם f חסומה?
פתרון
נבחר לדוגמה בקטע
. ברור כי
וכי אם
אז
, לכן f לא חסומה.
דוגמה 4
תהי סדרת פונקציות המתכנסת לפונקציה f במ"ש ב-I. נוכיח כי אם כל אחת מהפונקציות
חסומה ב-I, אזי גם f חסומה ב-I.
פתרון
נרשום . נתון כי ההתכנסות במ"ש ולכן
, בפרט עבור
. כמו כן
חסומה ב-I (מהנתון) כלומר קיים M כך ש-
ולכן מתקבל ש-
לכל
.
משפט: אם מתכנסת במ"ש בקטע I וכל
רציפה אזי f רציפה.
דוגמה 5
ניתן דוגמה לסדרת פונקציות רציפות המתכנסות לפונקציה רציפה אבל לא מתכנסת במ"ש בקטע סגור.
פתרון
נגדיר את הפונקציה הבאה: . קל לראות שהפונקציה הנ"ל מוגדרת בקטע
, אפשר לראות שהפונקציה הנ"ל רציפה. נצייר אותה: (יטופל בהמשך)
לכל יש
כך שלכל
מתקיים
שם מתקיים
, כלומר
סדרה קבועה מ-
מסויים. כמו כן
ולכן ההתכנסות אינה במ"ש.
דוגמה לפתרון עצמי
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול f וכן
פונקציה רציפה אזי
היא סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקציות הגבול
.
טורים של פונקציות
דוגמה 6
נסמן לכלn בקטע
. מה היא פונקצית הסכום
?
פתרון
.
דוגמה 7
נוכיח כי הטור מתכנס ל-
במ"ש בקטע
כאשר
.
פתרון
ברור שיש התכנסות נקודתית, נותר לבדוק התכנסות במ"ש. נסמן . מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |S_N(x)-\sin(x)|\le|R_N(x)|=\left|\frac{(-1)^{N+1}c^{2(N+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}
. מתקיים
. מספיק להסתכל על
, לכן
מתכנס ולכן
. מכאן שההתכנסות במ"ש.
דוגמה 8
בדקו התכנסות במ"ש .
פתרון
נשים לב כי לא יגדוע מהי פונקצית הגבול של הטור ולכן לא ניתן להוכיח התכנסות במ"ש ישירות מההגדרה. במקום, נפנה לתנאי קושי: