סכומי טורים
תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-
, אז f אינטגרבילית ומתקיים
. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות:
סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-
המתכנסת בנקודה אחת
ל-
. אם
סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-
אז
גזירה
. באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה לדוגמה: יהי
טור של פונקציות רציפות ב-
המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום
אז טור המספרים מתכנס ומתקיים
.
דוגמה 1
- הוכח שלכל
מתקיים
.
- חשב
. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-
. בנוסף ידוע שמתקיים
(לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה
. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס
(עבור הקטע הסגור הנ"ל
) אם
ברור ש-
</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.
יהי , נסתכל על הקטע מהצורה
שם
(הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-
ב. ברור כי נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי)
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו פונציות גזירות רציפות ב-
כך שהטור
מתכנס ב-
ל-
אם טור הנגזרות
מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים
.
דוגמה 2
. חשבו את סכום הטור עבור
.
פתרון
נתייחס לטור הבא שידוע שמתכנס עבור
.
יש להראות כי הטור מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.
.
הראנו בשאלת הכנה כי הטור מתכנס במ"ש, נשאר לעשות אינטגרציה . עד כאן
. צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי
. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.
דוגמה 2.5 (המטרה להסביר את דוגמה 2)
מהו סכום הטור עבור
.
פתרון
נשים לב שאם נגדיר ז"א
. אם
. נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש-
יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של וירשטרס. אם אז יש
שם מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\left|\frac n{a^{n+1}}
. הטור
טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).
נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה.
לסיכום
.
טור חזקות
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא
ןקצוות הטור נבדוק בנפרד.
דוגמה 3
מצא תחום התכנסות של הטור
פתרון
אכן מדובר על חזקות כי ולכן
ואז רדיוס ההתכנסות הוא
. ז"א
נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות
. עבור
:
שמתבדר כי
ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר.
עבור : ברור שהטור מתכנס לפי טור לייבניץ. לסיכום תחום ההתכנסות הוא
.
דוגמה 4
חשבו את תחום ההתכנסות של . נשים לב כי הטור הנתון לא טור חזקות. "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקור. נסמן
ונגדיר
. ברגע זה נקבל את הטור
.נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-
.
ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא
. ועבור
הטור הוא
גם אינסוף כי
זוגי לכל
.