אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח ש- ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-
. אזי:
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.
הוכחה
- עפ"י משפט 3 מתקיים
, כלומר
. כעת, אם
מתכנס אז הוא קטן מ-
, ולכן
ומתכנס.
- הוכחה טריוויאלית בדרך השלילה, בעזרת סעיף 1.
משפט 5 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-. עוד נניח שקיים
. אם
מתכנס אז
.
הוכחה
כיוון ש- קיים
כך שלכל
מתקיים
, ז"א
. נתון ש-g אינטגרבילית ב-
, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-
. לפי משפט 1 גם
אינטגרבילית ב-
. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע
ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-
.
מסקנה
בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש- אז
מתכנס אם"ם
מתכנס.
הוכחה
לפי משפט 5 אם מתכנס אז
מתכנס. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש-
מתקיים
ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש-
מתכנס אם
מתכנס.
דוגמאות
עבור כל אחד מהאינטגרלים הבאים נבדוק אם הוא מתכנס או מתבדר.
:
פתרון
כידוע, עבור x גדול החזקות הגדולות קובעות את סדר הגודל של הביטוי. לכן עבור
הפונקציה בסדר גודל
. נגדיר
וכן
. אזי
. לכן האינטגרל מתבדר.
-
:
פתרון
נגדיר
וכן
. מתקיים
. אבל
, כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר.
-
:
פתרון
נחשב את
: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל
. לכן אם
מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס.
משפט 6 (המבחן האינטגרלי לטורים)
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (עבור
כלשהו). אזי
.
הוכחה
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. הוא סכום עליון של
ו-
הוא סכום תחתון. נסיק ש-
. כעת אם נתון ש-
מתכנס אז הסכומים החלקיים
חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל. נשאיף
ומכיוון ש-
האינטגרל
מתכנס. מאידך, אם נתון כי
אז האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים
חסומים מלעיל ומכיוון ש-
נובע ש-
מתכנס
מתכנס.
מסקנה
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים .
דוגמאות
-
- מתכנס או מתבדר?
פתרון
נגדיר
, אזי f יורדת, אינטגרבילית מקומית ואי-שלילית ב-
. עפ"י משפט 6 התכנסות הטור שקולה להתכנסות האינטגרל
, שמתבדר:
(אם כי ההתכנסות איטית מאוד).
- ידוע לנו ש-
. אם נקח, למשל,
, מהו סדר הגודל של השארית R?
פתרון
נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר
אזי
. מתקיים
. כמו כן
ולכן
.
לסיכום, השארית מקיימת
.
פיתחנו כמה משפטים על התכנסות עבור f אי-שלילית. עתה נחזור לפונקציה כללית f שאינטגרבילית מקומית ב-
.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור
אם לכל
קיים
כך שאם
אז
.
משפט 7
תהי f מוגדרת בקטע .
קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
הוכחה
תחילה נניח שקיים ונאמת את תנאי קושי. יהי
נתון. לפי ההגדרה קיים
כך שאם
אז
. מכאן נובע שאם
אז
ולכן מתקיים תנאי קושי.
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים כך שלכל
מתקיים
. נקבע
ונובע שלכל
מתקיים
. לכן אם
אז
ומכאן ש-
. לכן f חסומה בקטע
ולכן
סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת
כך ש-
קיים ונאמר שהוא
. טענה:
קיים ושווה ל-L. הוכחה:
ולכן עבור
נתון קיים
כך שאם
אז
. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר
כך שאם
אז
. עתה נגדיר
ולכן
.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל
קיים
כך שאם
אז
.
הוכחה
לכל נגדיר
ולכן
. כמו כן מתקיים
. עתה,
מתכנס אם"ם
, וזה נכון אם"ם
.