הערה התחלתית: דרך ממש קצרה לפתרון: התשובה באופן כללי היא המכפלה של כל הinteger partitions של המעריכים שבפ"א. כאן פונקציית החלוקה של 1 היא 1, של 3=3. לכן התשובה היא .
מכיוון שזה לא פתרון סטנדרטי, בלשון המעטה, מובא לפניכם פתרון שהוא אולי משעמם לקריאה, אבל משעמם פי כמה לכתיבה :)
(לאוהד החשבתם דרך אחרת לפתרון כפתרון נוסף - Just saying)
סימון - בלוק ז'ורדן המתאים לע"ע מסדר
הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים בהינתן פ"א הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה).
מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.
נזכור ראשית שהחזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1.
אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.
באופן דומה הריבוי האלגברי של הע"ע 1 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 1 בצורת ז'ורדן=3, ו-
הריבוי האלגברי של הע"ע 0 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 0 בצורת ז'ורדן=3.
כעת, עבור כל פ"מ, נמקם ראשית את בצורת הז'ורדן, ואז נוכל להתעלם מהע"ע 2, שכן חייב להיות המופע היחיד של הע"ע 2 בצורת ז'ורדן (כי סכום גדלי הבלוקים המתאימים לע"ע 2 צריך להיות 1=המעריך המתאים בפ"א, כפי שכבר פירטתי), ונשים בכל פעם את הבלוקים שחייבים להופיע לפי החזקה המתאימה בפ"מ, ונראה כמה חופש בחירה נותר לנו.
1) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
הרי אנו יודעים שבצורת ז'ורדן חייב להופיע בלוק המתאים לע"ע i, מסדר השווה לחזקה שלו בפ"מ - ונקבל שהמטר' שקיבלנו ע"י הכנסת הבלוקים שחייבים להופיע היא כבר מסדר , ולכן היא צורת ז'ורדן. צורת ז'ורדן היא .
2) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
3) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
4) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
5) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
6) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
בכך ענינו על סעיף ב'.
7) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
8) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
9) לבסוף, עבור הפ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א.
צורת ז'ורדן היא
כלומר, לכל אחת מ-9 האפשרויות יש בדיוק צורת ז'ורדן אפשרית אחת. לכן יש צורות ז'ורדן אפשריות בסה"כ!
מש"ל.
למרצים: השאלה במבחן הדוגמא המתאים לאותה השנה זהה לחלוטין עד כדי מספרים שונים. האם צריך לפתור גם אותה?
הערות: 1) בפתרון הנחתי שצורת ז'ורדן שמתקבלת מסדר שונה של הבלוקים באלכסון היא זהה. (זה בסדר כי הן דומות; אם רוצים דווקא להחשיב אותן בנפרד, צריך להכפיל את האפשרויות שבכל מקרה ב(עצרת של (מס' הבלוקים שבצורת ז'ורדן))) לכן בכל מקום שבו כתוב 'יחיד/ה' על צורת ז'ורדן, הכוונה היא עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
2)כאשר במטריצה לא מופיעים במפורש איברים - המקומות החסרים הם אפסים.