(המבחן)
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.
היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י
(באינדוקציה -
גדולה יותר מכל שאר איברי
שגדולים יותר מכל איברי
) ולכן מתכנסת. בצורה דומה,
היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י
</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
דוגמה:
,
.
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור
אבל
.
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן
.
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם אז
.
פורמלית: יהי
. מתקיים
ולכן לכל
קיים
כך ש
, כלומר כך ש
. מש"ל.
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות:
,
. באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה
בחיתוך ונתבונן במקום
, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור
, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע
.
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ
ולכן
בסתירה להיותם שווים.
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל:
.
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.
9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא
, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
11) נגדיר פונקצייה h על ידי . כעת, נתבונן ב
:
ואילו
, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-
יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע
.
באותו האופן, ולכן יש ל-
שורש בקטע
. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
רציפה ובעלת מחזור
ולכן רציפה במ"ש ב
ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל-
, ובפרט בקרן החיובית הסגורה
.
ידוע x רציפה במ"ש ב
ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל-
, ובפרט בקרן השלילית הסגורה
. לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי .
h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע
ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר
. לכן
. מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.