שאלה 1
צטטו והוכיחו את הלמה של קנטור
שאלה 2
א. חשבו את הגבול
ב. קבעו האם הגבול קיים:
פתרון
א.
כיוון שהמונה והמכנה שואפים לאפס, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.
ב.
נסמן את איברי הסדרה ב
קל לראות כי
ולכן הסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.
שאלה 3
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
א.
ב.
פתרון
שאלה 6
תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול קיים וגדול מאפס.
הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.
פתרון
- נסמן . לכן קיים M כך שלכל מתקיים .
- לכן, החל מ- M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
- נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-K.
- לפי הגדרת הגבול, קיים 'M כך שלכל מתקיים
- לכן ביחד לכל זוג מתקיים
- ניקח אזי לכל לפי משפט לגראנז קיים כך ש-
- כעת, מתקיים , אבל מצד שני ולכן עבור h מספיק גדול נקבל סתירה.