………
דוגמה
פתרון
לכן ונסמן
. נציב
ונגזור לפי
:
.
נבדוק ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־
ולכן
.{{left|עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c
ו־ פתרון סינגולרי בצורת קו ישר.
מקרה 2
. במקרה זה נציב
. נבחר את
כך שיאפסו את המחוברים הקבועים במונה ובמכנה, וכך נגיע למד״ר הומוגנית עבור
כפונקציה של
.
דוגמה
. אזי
ונציב באופן הנ״ל. מתקיים
. נרצה ש־
. לפיכך
ונסמן
.לפיכך עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \frac{1+z}{1-z}=\frac{\\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm d(p\cdot z)}{\mathrm dp}=z+p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}
. נקבל
ומכאן ש־
. לבסוף,
.
מד״ר לינאריות מסדר ראשון
. אם המד״ר הומוגנית ניתן להפריד משתנים ולהגיע לפתרון
. כדי לפתור מד״ר אי־הומוגנית קודם כל פותרים את המד״ר ההומוגנית המתאימה (בודקים
) ואז מציבים
במקום
. לסיום פותרים עבור הפונקציה
.
תרגיל
מצא את הפתרון הכללי של המד״ר .
פתרון
נביא את המד״ר לצורה ע״י חילוק ב־
:
. לכן
. המד״ר ההומוגנית המתאימה היא
שפתרונה
. נשתמש בווריאציית המקדמים ונצא פתרון מהצורה
.
נציב במד״ר
. עתה
ולכן
.
תרגיל
נתון מעגל חשמלי כמתואר בציור. לפי חוק קירכהוף הזרם במעגל, , מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית
.
- בהנתן שבזמן
המעגל פתוח ומייד לאחר מכן סוגרים את המתג, מצא את הזרם החשמלי במעגל בזמן
כלשהו.
- מהו הזרם החשמלי במעגל לאחר זמן רב,
?
פתרון
- כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה
. המד״ר היא
. נביא לצורה
. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt\right)=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\int\frac{50}3\mathrm e^{\frac{10}3t}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\left(c+5\mathrm e^{\frac{10}3t}\right)=5+c\mathrm e^{-\frac{10}3t}
………
- כעבור זמן רב הזרם הוא
(Ampe`re).
תרגיל
פתור בקטע
.
פתרון
זוהי מד״ר לינארית מסדר ראשון עם . ע״ס הנוסחה
בקטע הנתון
ולכן ניתן להתעלם מהערך המוחלט.
………
משוואת ברנולי
. ניתן להציב
ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): y(x)=\left(\mathrm e^{-\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx
………
מד״ר מדויקת
מד״ר מהצורה נקראת מדוייקת בתחום
אם קיימת פוקנציה סקלרית
כך ש־
. אם כן המד״ר היא
ופתרונותיה
הן עקומות הרמה של
. תנאי הכרחי הוא
.
תרגיל
פתור את המד״ר עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \matrhrm לא מוכרת): 2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\matrhrm dx}=0 .
פתרון
נכפיל ב־ ונקבל
ונחפש פונקצית דיפרנציאל
כנ״ל.
.
………
ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי ונגרוש ש־
מדוייקת. כדי ש־
תהא תלויה ב־
בלבד צריך להתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \frac{\frac{\partial
…………
תרגיל
פתרו . אזי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \partail לא מוכרת): \frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\partail P}{\partial y}=3y^2
. ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל
, כלומר התלות ב־
בלבד, כדרוש.