משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי
פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־
בתיבה
, ונתונים תנאי ההתחלה
. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע
.
- כל מד״ר מסדר
שקולה למערכת של
מד״ר מסדר 1:
. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה
. אם
אזי
פתרון, ואם
אזי
פתרון. אחרת
.
- נתונה מד״ר
. אז נציב
ו־
.
- הכללה: נתונה מד״ר
. אם
נציב
כאשר
. אחרת נבחר
ונציב
.
- הכללה: נתונה מד״ר
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר
. אזי נציב
ו־
.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר
. אם היא לינארית־הומוגנית אזי
, ובכל מקרה
.
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר
. נציב
, כאשר אם
אז
פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־
), אם
אז פתרון סינגולרי, ואם
אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים:
.
- מד״ר מהצורה
היא מדויקת אם״ם יש
כך ש־
שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
כך שתהפוך למדויקת.
תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
. היא תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה
. הפתרון הכללי הוא מהצורה
. אם
פתרון אזי
הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר
ממעלה
. אזי קיימות פונקציות
שעבורן
.
- אם
נציב
ואז
. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- אם
נציב
ואז
. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה
. נבחר פונקציה
שעבורה
, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת
. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים)
היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר
. אזי
או (כאשר
)
.
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר
עבור
. נציב
ואז
. לפיכך
מקיים
או
(מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־
מקיים
.
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר
או
נציב
ונקבל
או
, בהתאמה. מתקיים
ו־
.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה המד״ר היא תמיד , וכן
הם פולינומים ממעלה
או פחות.
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
מימדי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות
מגדירים
.
- אם
ת״ל אזי
.
- אם
פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום
וכן
אזי הם ת״ל.
- אם
- משפט ליוביל: אם
פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי
.
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא
, כאשר
הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־
פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים
פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא
כאשר
. באופן שקול:
, כאשר
.
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב
, ולכן
וגם
. אם השורשים השונים זה מזה הם
והריבויים שלהם
בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא
. אם
אינו ממשי ניתן לכתוב
ואז, כיוון ש־
שורש עם אותו ריבוי, נציב
.
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן
, כאשר
קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של
ב־
הוא
(במידה ו־
לא שורש נאמר
). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה
כאשר
. הערה: אם
נוכל לפתור עבור
בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.