משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי כך ש- קבוצה קומפקטית ו- רציפה ב- , אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: , ולכל נסמן את בהתאם: .
לכן לכל k מתקיים:
כיוון שכל הנקודות ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה שמתכנסת לנקודה שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- . מתוך הנתון ש- f רציפה ב- נקבל ש- אך אם כך, בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- . משל
היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות
הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. (שניהם בהרצאה 7)
משפט 1
תהי כך ש- ותהי כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל קיימת נגזרת חלקית והיא שווה ל-
הוכחה 1
כך ש- .
לכן,
כיוון ש- והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה וקיבלנו את מה שרצינו.
משפט 2
תהי כך ש- ותהי כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
הוכחה 2
יהי אז . מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,