קוד:הגדרת נורמה

הגענו להגדרת המושג "נורמה", שהוא הכללה של אורך. באופן כללי, נרצה שאורך יהיה מספר ממשי אי-שלילי, ושרק וקטור האפס יהיה מאורך אפס; נרצה שמתיחת וקטור תגדיל (או תקטין, אם מדובר על כיווץ) פי אותו גורם (בערך מוחלט, אם הוא שלילי); ונרצה שיתקיים אי-שוויון המשולש המפורסם (סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית). ננסח את ההגדרה:

\begin{definition}

יהי $V$ מעל $\mathbb{F}$ מרחב וקטורי. \textbf{נורמה} היא פונקציה $\left \| \quad \right \|:V\rightarrow\mathbb{R}$, המקיימת את האקסיומות הבאות:

\begin{enumerate}

\item \underline{אי-שליליות} -

\begin{enumerate}

\item לכל $v\in V$, $\left \| v\right \|\ge0$.

\item $v=0\Leftrightarrow \left \| v\right \|=0$.

\end{enumerate}

\item \underline{הומוגניות} - לכל $v\in V$ ולכל $\alpha\in\mathbb{F}$, $\left \| \alpha v\right \|=\left|\alpha\right|\left\|v\right\|$.

\item \underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $u,v\in V$, $\left \| u+v\right \|\leq\left \| u \right \|+\left \| v \right \|$.

\end{enumerate}

\end{definition}