העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו . אזי העתקה המוגדרת אינה ה"ל.
כי למשל
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): f(\right( 3\begin{pmatrix} 1 // 1 \end{pmatrix} \left) = f( \right( \begin{pmatrix} 3 // 3 \end{pmatrix} \left) = \begin{pmatrix} 9 // 3 \end{pmatrix}
שלא שווה ל
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): 3 f(\right(\begin{pmatrix} 1 // 1 \end{pmatrix} \left) = 3\begin{pmatrix} 1 // 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 // 3 \end{pmatrix}
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל . יהי בסיס ל ויהיו וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1. מצא את הה"ל המקימת . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x