תרגיל
הוכיחו כי
פתרון
נגדיר פונקציה ע"י וכל B שאינה נקודון ואינה קבוצה ריקה נשלחת לעצמה.
תרגיל
הוכיחו כי
פתרון: הפונקציה המוגדרת הפיכה.
משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)
אם וגם אז
תרגיל
הוכיחו:
פתרון
לפי ק.ש.ב. כי מוכל ברציונאליים ומכיל שברים מהצורה .
תרגיל
הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה כאשר ממשיים.
פתרון
נראה שכולם שווי עוצמה לקטע .
ראשית נגדיר ע"י חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.
ט: הקטע בעל עוצמה שווה ל .
ה: הפונקציה הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.
תרגיל
תהא A קבוצה. הוכח כי
פתרון: נגדיר את הפונקציה ע"י היא חח"ע.
תהא A קבוצה. הוכח כי
פתרון: נניח בשלילה כי אזי קיימת הפיכה, בפרט על. נגדיר . זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים כך ש . האם ? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי סתירה. אם כן אז אבל לפי הגדרת X מתקיים סתירה. משל/