חזרה לדף מערכי התרגול.
עוצמות
הגדרה. יהיו שתי קבוצות. אזי:
- אם קיימת חח"ע ועל אז אומרים של- ול- יש אותה עוצמה. סימון .
- אם קיימת חח"ע אז אומרים כי העוצמה של קטנה או שווה לזו של . סימון .
- אם וגם אזי אומרים כי העוצמה של קטנה ממש מהעוצמה של . סימון .
הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת על אזי .
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נגדיר פונקציה ע"י וכל שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.
הפיכה כי יש לה הופכית: ע"י וכל שאינה נקודון נשלחת לעצמה.
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון: הפונקציה המוגדרת הפיכה.
משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)
אם וגם אז .
בהמשך נקצר לק.ש.ב.
תרגיל
הוכיחו: .
פתרון
לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה שברים מהצורה .
תרגיל
הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה כאשר ממשיים.
פתרון
נראה שכולם שווי עוצמה לקטע .
ראשית נגדיר ע"י חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.
טענה: הקטע בעל עוצמה שווה ל-.
הוכחת הטענה: הפונקציה הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.
תרגיל
תהא קבוצה. הוכיחו כי .
פתרון: נגדיר את הפונקציה ע"י והיא חח"ע.
תהא קבוצה. הוכיחו כי .
פתרון: נניח בשלילה כי אזי קיימת הפיכה, בפרט על. נגדיר . זוהי תת קבוצה של ולכן, מכיוון ש- על, קיים כך ש-. האם ? אם לא, לפי הגדרת נקבל כי , סתירה. אם כן אז אבל לפי הגדרת מתקיים סתירה. מש"ל.