חזרה ל מערכי תרגול.
הגדרה
כדי להבין פנקציות מהצורה צריך להבין מה עושה פונקציה . פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: ואז נקבל: .
רציפות
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה רציפה ב אם לכל סדרה מתקיים: . פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
משפטים
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: רציפה אם ורק אם רציפות.
לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.
רציפות של פונקציות בשני משתנים
פונקציה רציפה בנק' אם לכל זוג סדרות מתקיים: . כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
תרגיל
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים:
אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב כדי שכן תהיה רציפה שם?
פתרון
לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות עבורן לא מתקיים: . וזה מה שנעשה כאן:
אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, , וניקח למשל , אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא ). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב נובע שהפונקציה לא רציפה.
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע כי אם ניקח את הסדרות נקבל לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
תרגיל
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים:
פתרוןו
אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות מתקיים: . נראה זאת:
. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים , ולכן אצלנו נקבל ונוכל להמשיך: