משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה 0
פתור .
פתרון
נשתמש בשיטת ההצבה:
נציב ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
אינטגרציה בחלקים: | ![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
אינטגרלים של פונקציות רציונליות
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה כאשר
פולינומים. למשל, האינטגרלים
ו-
. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-
, בעוד שהשני כן פריק.
דוגמה 1
נפתור .
פתרון
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל- (כי
). ואכן, אם
אז
. נשנה את המונה כך שיהיה
:
![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-![]() ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו .
דוגמה 2
נחשב .
פתרון
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים
. לכן האינטגרל הוא
.
דוגמה 3
נמצא .
פתרון
![x^3-2x^2=x^2(x-2)](/images/math/3/f/5/3f59d569a6063d9d04853204cbc22cbc.png)
![\begin{align}\int&=\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx\\&=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}\\&=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c\end{align}](/images/math/5/0/e/50eff755de1d26201ffbd20d8c1964ff.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
דוגמה 4
נחשב .
פתרון
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-![x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1)](/images/math/6/0/8/608825488d34e2bfee2a9acd0199366b.png)
![3x-1](/images/math/5/6/9/569f7f555cfa0d69f3b3e1543a406af6.png)
![\frac13](/images/math/b/3/c/b3ccbda0ce66b01807d64964dfa40238.png)
![x^2+1](/images/math/1/9/c/19cb4465624f301eeb8f8a6d1d60276b.png)
![\frac A{3x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}](/images/math/4/0/3/4031fcd1261328d1b87299775060b4cc.png)
![A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35](/images/math/5/f/9/5f9f93c1656e90c535e263bd4b59bc08.png)
![\begin{align}\int&=-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\&=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c\end{align}](/images/math/b/f/c/bfc70f42baa99dfc4d5f11bd09a8f4d5.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
כלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
דוגמה 5
פתרון
נחלק:
![\begin{align}\int&=\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx\\&=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx\\&=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}\\&=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c\end{align}](/images/math/e/9/4/e9474a7338bfda4074133b3c85cf791c.png)