אינטגרלים

אם [math]\displaystyle{ F }[/math] ו-[math]\displaystyle{ G }[/math] קדומות ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אז קיים קבוע [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math].

לכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] מתקיים:

אם [math]\displaystyle{ P }[/math] חלוקה של הקטע אזי [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ P }[/math] חלוקה של הקטע ו-[math]\displaystyle{ Q }[/math] עידון של [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ |Q|=|P|+r }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקבלת מ-[math]\displaystyle{ P }[/math] ע"י הוספת [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודות) אזי [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] וכן [math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega }[/math].
לכל שתי חלוקות [math]\displaystyle{ P }[/math] ו-[math]\displaystyle{ Q }[/math] של הקטע מתקיים [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע אז [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f }[/math].
לכל חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע אם"ם [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.

הכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] אזי היא אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

הכללה להכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] פרט למספר סופי של נקודות אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

נניח ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ואם כן אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b }[/math].

הכללה: עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] כנ"ל ו-[math]\displaystyle{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b }[/math] (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f }[/math].

תהי [math]\displaystyle{ P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} }[/math] חלוקה נוספת של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math]. יתר על כן, [math]\displaystyle{ \underline S(f,P):=\inf_{P'}S(f,P,P') }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P):=\sup_{P'}S(f,P,P') }[/math].
הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת ומונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי היא אינטגרבילית בו.

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ו-[math]\displaystyle{ c }[/math] קבוע. אזי:

לינאריות: [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].
מונוטוניות: אם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g }[/math].

חיוביות: בפרט מתקיים שאם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge0 }[/math].

הכללה לאי-שיוויון המשולש: גם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית בקטע ו-[math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| }[/math]
אם [math]\displaystyle{ m\le f(x)\le M }[/math] בקטע אז [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) }[/math].

בפרט, אם [math]\displaystyle{ |f(x)|\le M }[/math] אז [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) }[/math].
בפרט, אם [math]\displaystyle{ f(x)=M }[/math] (פונקציה קבועה) אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=M(b-a) }[/math].

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f }[/math].

[math]\displaystyle{ F }[/math] מוגדרת ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה ו-[math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math]).
נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע אז יש לה שם פונקציה קדומה.