משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ב-
אם לכל
f אינטגרבילית ב-
(locally integrable function).
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-
. נגדיר
.
אם הגבול קיים אומרים שהאינטגרל מתכנס ו-f אינטגרבילית ב-
ואם הגגבול לא קים אומרים שהאינטגרל מתבדר \, ו-f לא אינטגרבילית בקטע.
דוגמאות חישוב
-
. דרך קיצור:
.
-
. נציב
ואז כאשר
נקבל
וכאשר
נקבל
ולכן
.
- עבור
נחשב
עבור
זה
- מתבדר. עבור
נקבל
, כלומר האינטגרל מתכנס
. הערה: עבור
מתקבל
בקטע
. לכן מבין הפונקציות
, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על
מתבדר היא
. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-
שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל
. "קל לבדוק" שעבור
האינטגרל
מתכנס אם"ם
.
- נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-
ונניחי ש-
. נבנה פונקציה
רציפה ב-
מסדר גודל יותר קטן מ-f: ז"א
ועדיין
. ובכן נגדיר
אז כמובן ש-
ולפי הנתון
נגדיר
וכן
ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty
.
- נניח ש-
רציפה ב-
ו-
מתכנס. אז קיימת
מסדר גודל דגול מ-F כך ש-
מתכנס.
בנייה: נגדיר לכן
לכן
קיים ושווה ל-L. נגדיר
אז g מגדר גודל כמו f וזה לא עוזר, אלא יש להגדיר
אז שוב
וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס,
. נגדיר
חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן
-
, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
- נתבונן באינטגרל
- מתכנס או מתבדר? נוכיך שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ןנבטא את האינטגרל החלקי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \int\limits_1^{N\pi}\sinc(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N a_k
. טענה: המספרים מקיימים:
-
-
(ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ. הוכחה:
- עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx
. אם k א"ז אז בקטע
ואם k זוגי אז
בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): |a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx
כי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \sinc(x) בעלת סימן קבוע ב-. נציב
על מנת לקבל
ומכיוון ש-
זה שווה ל-
ואילו
, לכן הטענה השנייה מתקיימת. נותר לנו לבדוק ש-
. ואכן
. לסיכום
וה-
יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור
מתכנס, נאמר ל-L. טענה - עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \int_1^\infty \sinc(x)\mathrm dx=L
. הוכחה: יהי נתון. לפי הנתון קיים
כך שלכל
מתקיים
. כמו כן
ולכן קיים
כך שלכל
מתקיים
. כעת נגדיר
. אם
אזי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): |\int_1^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx-L|=|\int\limits_1^{\lfloor R\rfloor\pi} \sinc(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx-L|=|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx|\le|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L|+|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx|
\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor}<\varepsilon
משפט 1
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
הוכחה
לפי הגדרה
משפט 2
תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב- ויהי
. אזי האינטגרל
מתכנס אם"ם
מתכנס, ואם כן
. ההוכחה פשוטה מדי.
משפט 3
- תהי f מוגדרת ועולה בקטע
אזי
קיים אם"ם
, ואם כן
.
- תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-
. עוד נניח ש-
בקטע זה, אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל.
הוכחות
- נניח
. טענה:
קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם
נתון אזי קיים
כך ש-
לכן עבור כל
מתקיים (מכיוון ש-f עולה)
. בפרט, לכל
מתקיים
ולכן
ואם
(לא חסום) אז לכל
קיים
כך ש-
. כעת, אם
אז
. נובע ש-
ואין גבול במובן הצר.
- לכל
נגדיר
. כיוון ש-
לכל
,
עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי
וראינו בחלק 1 שהגבול של
קיים אם"ם
חסומה מלעיל, ז"א אם"ם
חסום מלעיל כאשר
.
מסקנה
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-.