משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט דיני
אם סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע
ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף
סדרה עולה לכל
. אזי
מתכנסת במ"ש ב-
.
דוגמה 1
בדוק הכנסות עבור הסדרה בקטע
פתרון
נישם לב שעבור x בקטע . קל לראות גם שפונקצית הגבול
. ברור כי
רציפות ובקטע מתקיים
. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש.
פתרון
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול ומכיוון ש-
.
דוגמה 2
קבעו אם הטור מתכנס ב-
.
פתרון
נשתמש בטור הנדסי, נרשום ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 3 משיעור קודם
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן
פונקציה רציפה אז
היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול
.
פתרון
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל יש
כך שאם
אז
. בנוסף נתון ש-
מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל
מתקיים
(בפרט אפשר לבחור
.
נשים לב ש-
מוגדרת היטב ושם לכל
ובפרט עבור
מתקיים
.
מבחן ה-M של ווירשטראס
יהי טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים
כך שלכל n גדול מספיק ולכל
מתקיים
אז
מתכנס במ"ש ב-I.
דוגמה 4
הוכח כי מתכנס במ"ש ב-
.
פתרון
נרשום את הטור כ- נסמן
ונחסום אותה:
ו-
, שהיא מקסימום כי
. נותר לבדוק את קצוות הקטע:
. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס
מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור
מתכנס במ"ש.
אינטגרציה איבר-איבר בסדרות
אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים
דוגמה 5
קבע האם מתכנס כאשר
ו-
. נציב
ואז
עבור צד ימין
(השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי
</math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.
נראה ש- לא מתכנסת במ"ש.
=פתרון
ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-:
ונקבל
. מתקיים
.