צירופים לינאריים, תלות לינארית ומרחבים נפרשים (span)

הגדרת צירוף לינארי

יהי V מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in V }[/math] וקטורים במרחב. צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] הינו וקטור במרחב [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך שקיימים סקלרים בשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math].

הגדרת המרחב הנפרש (span)

בתנאי ההגדרה לעיל; המרחב הנפרש על ידי הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] מוגדר להיות קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים הללו. כלומר, [math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_n\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\} }[/math].

שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.

תכונות המרחב הנפרש

עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם 'מרחב'. הסיבה היא שהspan הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש הוא אכן מרחב, הוא המרחב הקטן ביותר המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש:

תרגיל

יהי V מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש [math]\displaystyle{ spanA\subseteq W }[/math].

הוכחה

אם [math]\displaystyle{ v\in spanA }[/math] אזי קיימים וקטורים וסקלרים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in A }[/math], [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k\in\mathbb{F} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k }[/math]. מתוך הנתון ש[math]\displaystyle{ A\subseteq W }[/math] נובע ש[math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in W }[/math] ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W }[/math] משל.