הלמה של צורן

הגדרה. קבוצה A אשר מוגדר עליה יחס סדר חלקי R נקראת קבוצה סדורה חלקית. תת קבוצה של קבוצה סדורה חלקית [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] נקראת שרשרת אם R מהווה יחס סדר מלא על C.

הלמה של צורן. תהי A קבוצה סדורה חלקית כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).

הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. תהי [math]\displaystyle{ \{A_i\}_i{\in I} }[/math] משפחה של קבוצות. אזי קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ f:\{A_i\}_{i\in I}\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \forall i\in I:f(A_i)\in A_i }[/math]. במילים פשוטות: ניתן לבנות פונקציה הבוחרת נציג מכל קבוצה.

דוגמא. תהי [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math] פונקציה. הוכח שקיים צמצום חח"ע של f בעל תמונה זהה ל-f.

הוכחה. נציג את A כאיחוד אוסף המקורות של כל התמונות של הפונקציה [math]\displaystyle{ A=\bigcup_{b\in im(f)}f^{-1}\Big[\{b\}\Big] }[/math]. לפי אקסיומת הבחירה ניתן לבנות פונקציה [math]\displaystyle{ g:\Big\{f^{-1}\Big[\{b\}\Big]:b\in im(f)\Big\}\rightarrow A }[/math] השולחת כל קבוצת מקורות לנציג כלשהו שלה.

נוכיח כי [math]\displaystyle{ h:=f|_{im(g)} }[/math] הינה חח"ע והתמונה שלה שווה לזו של f. נניח [math]\displaystyle{ h(a)=h(b) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ a,b\in f^{-1}\Big[\{h(a)\}\Big] }[/math] אבל כל מקור של תמונה נשלח לנציג יחיד על ידי g אחרת זו סתירה לחד ערכיות ולכך ש-g הינה פונקציה. כמו כן, מכיוון שמכל מקור נבחר נציג, כל התמונה של f מתקבלת.

תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו). קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל [math]\displaystyle{ C\subset B }[/math] מתקיים כי B אינה מגניבה. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי.

הוכחה. נביט באוסף הקבוצות המגניבות וביחס ההכלה. לכל שרשרת של קבוצות מגניבות מתקיים כי האיחוד הכללי שלהן הינו קבוצה מגניבה. אמנם, אם x,y באיחוד הכללי אזי קיימות קבוצות בשרשרת S,T כך ש [math]\displaystyle{ x\in S \and y\in T }[/math]. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x,y\in T }[/math] ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו.

אם כן, האיחוד הכללי הינו חסם מקסימלי של השרשרת (כי הוא מכיל את כל הקבוצות בשרשרת) מתוך אוסף הקבוצות המגניבות, ולכן לפי הלמה של צורן קיימת קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה. זה אומר שכל קבוצה מגניבה המכילה את C שווה לה.

נניח שקיים איבר שאין לו הפרש רציונאלי עם אף איבר בC. אזי אם נוסיף אותו לC נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את C בסתירה.