לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

שאלות

שאלה

אפשר בבקשה לצרף את משפט הליכסון? ההוכחה שלו לא הייתה בצורה מלאה במחברת... תודה!

תשובה

אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.

לא נראה לי שהוא התכוון לזה.. לפי דעתי הוא התכוון למשפט עם התכונות השקולות (ר"ג=ר"א, וכו').

תצטרכו לנסח אותו במדיוק. אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי ברור שיש בסיס המורכב מוקטורים עצמיים, כי ידוע שו"ע של ע"ע שונים הם בת"ל. בכיוון ההפוך, אם הריבוי הגיאומטרי קטן ממש מהאלגברי אז ברור שאין בסיס המורכב מו"ע משיקולי מימדים.

שאלה

בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפת?

לכסון ושילוש - אורתוגונלי ואוניטרי

מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?

בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים?

תשובה

לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הוא, שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכבים, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזה.

זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים אבל כן מעל המרוכבים, ויש מטריצות שאינן לכסינות כלל.

שאלה

כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימליים?

תשובה

בקלות: [math]\displaystyle{ f_A=|A-xI|=|P^{-1}BP-xI|=|P^{-1}BP-xP^{-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B }[/math]

זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, הוא מאפס גם את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שווים.

צודק, טעות שלי. עשינו אבל את ההוכחה הזו עשינו בתרגיל באמת (כמו שרשמת מראים שיש אותם פולינומים מאפסים)

שאלה

האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי?

איפה הטעות שלי?

נניח Length Tv = Length v (אני כותב LENGTH במקום נורמה כי אני לא יודע לכתוב מתמטית חח) אזי vxv=TvxTv כשהמכפלה זה המכפלה הפנימית. כלומר Tv-vxTv-v=0 לכן בהכרח Tv=v ולכן בהכרח T=I

תשובה

קודם כל, אונטרי זה לא I, אלא T אוניטרי אם TT*=I.

שנית, אסור לעשות את מה שרשמת עם מכפלה פנימית. [math]\displaystyle{ \lt Tv,Tv\gt -\lt v,v\gt \neq \lt Tv-v,Tv-v\gt }[/math]. הכלל הנכון הינו [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt -\lt w,u\gt =\lt v-w,u\gt }[/math]

שלישית, למדנו בתרגיל שאופרטור הוא אוניטרי אם"ם שומר אורכים אם"ם שומר מכפלה פנימית. ואם זה לא מספיק, ההוכחה שאופרטור ששומר אורכים שומר מכפלה פנימית נמצאת באתר בעמוד הראשי.

השאלה שלי הייתה אם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי. לא נורמות ולא מ"פ. מרחקים.

ומה ההבדל בין שמירת נורמה לשמירת מרחקים? איך מודדים מרחק? אתה בעצמך רשמת נורמה בשאלה...

אני כתבתי רק את השאלה המקורית, לא את שתי השורות שמתחתיה. מרחק זה הנורמה של הפרש הוקטורים.

אז אם מרחק זה נורמה, והנורמה נשמרת אז ברור שהמרחק נשמר. ולחילופין, כל נורמה היא מרחק של הוקטור מאפס. זה שקול לחלוטין. אלה שמות שונים לאותו הדבר

החזרת תרגילים

ארז - ביום שני הקרוב (מחרתיים) יש לנו שיעור חזרה, ועדיין לא קבלתי את כל התרגילים בחזרה וחשוב לי לראות מה עשיתי - האם הם כבר נבדקו? ולגבי אלה שנבדקו, מאיפה אפשר לאסוף אותם?

תשובה

אם הם יחזרו אלינו אנחנו נחזיר אותם ביום שני. בכל מקרה אני ממליץ לקרוא את הפתרונות שיש באתר (בלי שום קשר לתרגילים)

שאלה

בהוכחה של משפט אוילר כתוב שאם ההצגה של T אורתוגונלי לפי בא"נ B במרחב ממימד 2 היא Ref a, ניתן לשנות את הבסיס ככה שזה ייצא מטריצה שיש בה במקום 11 מינוס אחת, במקום 22 אחת ובשאר אפסים. איך משנים את הבסיס כדי שייצא ככה?

תשובה

ניקח אופרטור שיקוף לפי ישר מסוים. מה האופרטור עושה לוקטור שנמצא על הישר? כלום, משאיר אותו כמו שהוא. מה האופרטור עושה לוקטור המאונך לישר? הופך אותו לצד השני, כלומר מחזיר את מינוס הוקטור. לכן ניקח את הבסיס שהוא וקטור על הישר שלפיו משקפים ווקטור מאונך לו. זה תמיד יהיה בסיס (למה?).

זה הסבר ל2 על 2. אבל למדנו שכל אופרטור א"ג הוא סכום ישר של אופרטורים על מרחבי 2 על 2.

למדנו שהוא סכום ישר של סיבובים עם מינוס אחדים ואחדים. מה האחדים והמינוס אחדים מייצגים?

או שיקוף (מינוס אחד) או פשוט שליחת וקטור לעצמו (אחד). הרי מה מטריצה הזו עושה לוקטורי הבסיס? מסובבת זוגות של וקטורי בסיס, חלק משאיר כמו שהם, וחלק משקפת כלומר הופכת את הכיוון

אם אני ממש רוצה למצוא את הבסיס המפורש שבשאלה, מה אני עושה?

איזה שאלה? רשמתי איך מוצאים את הבסיס

שאלה - אורתוגונליות של אופרטור

תוך כדי הוכחת חלק קטן ממשפט אוילר, שבא להוכיח את אחת מטענות העזר הרבות הבאה: אם T אורתוגונלי, U אינווריאנטי, אזי גם U+ אינווריאנטי, נתקלתי במשהו שלא הבנתי מההרצאה: T אורתוגונלית, אז מדוע היא חח"ע? האם כל T אורתוגונלית בכל תת-מרחב (גם לא T-אינווריאנטי) תהיה חח"ע?

תשובה

מה זה מטריצה א"ג? מטריצה שעמודותיה הן בסיס א"נ, ובפרט הן בסיס. כלומר זו מטריצה הפיכה ובוודאי חח"ע. אם היא לא הייתה חח"ע היה לה גרעין לי טריוויאלה, וזו סתירה לכך שעמודותיה הן בת"ל.

אההה מצוין, תודה!

ויש לי עוד שאלה: בהוכת המשפט: 'יהי V מעל R, ו-T אופרטור אורתוגונלי, אזי קיים בא"נ עבורו ההצגה של T היא מטריצת בלוקים שכוללת: [math]\displaystyle{ Rot(a_1) . . . Rot(a_k), -1 . . . -1, 1, . . . 1 }[/math] (אלו הם הבלוקים, והשאר אפסים)'.

הוכחנו בעצם באינדוקצייה, אבל משהו פה נראה לי מוזר:

כשהגענו למקרה ה-n עבור n>2 אמרנו שבגלל ש-T אורתוגונלית יש תת"מ אינווריאנטי U ממימד 1 או 2, ואז יש לו בא"נ B1 כאשר ההעתקה המצומצמת של T עבור U לפי הבסיס B1 היא מהצורה הדרושה. בנוסף, נובע גם שיש גם U+ שהמימד שלו קטן מ-n. איך פתאום קפצנו מכאן למשפט הבא: "לכן לפי הנחת האינדוקצייה יש בא"נ B2 עבור U+ עבורו ההצגה של ההעתקה המצומצמת T ל-U+ לפי B2 היא כנדרש"? על איזו הנחה מדובר?

מה זו הנחת האינדוקציה? זה בדיוק מה שצריך להוכיח הרי. האינדוקציה פה נעשית על המימד. כלומר אנחנו מניחים שכל אופרטור א"ג הוא מהצורה הזו אם הוא פועל על מרחב ממימד n. כעת אנחנו לוקחים את המרחב הגדול, ומפרקים אותו לשני תתי מרחבים אינווריאנטיים U, U+ שהמימד שלהם קטן ממש מהמימד של המרחב כולו. לכן לפי הנחת האינדוקציה האופרטור נראה כמו במשפט על כל אחת מתתי המרחבים הללו.

אהההה הבנתי, אז הנחת האינדוקצייה שפועלת על המימד נכונה כאן כי אנחנו משתמשים בה עבור U+ שאנחנו יודעים שהמימד שלו קטן ממש מ-n, וההנחה היא עבור 1, . . n-1, ובעצם מוכיחים עבור סכום הישר של ההצגות המצומצמות של T לפי הבסיסים שלהם ב-n. נחמד מאוד :) ! תודה ארז, אין עליך!!

שאלה

בפתרונות של שאלה מס' 3 סעיף א' בתרגיל 11, כתוב שזה העתקה בי לינארית. לא הבנתי איך, קח y=0'0'0 x=1'1'1 ותקבל f(x,y)=1 כשאמור לצאת 0...

תשובה

צודק, זו טעות. נתקן

שאלה

יש איזה שאלה שאני לא מצליח, אשמח לעזרה. יהי V מ"ו מעל F ויהי W ת"מ של V. יהי Q פונקציונל לינארי מV לF. ידוע ש ker Q מוכל בW. הוכח: W=V או W=ker Q.

תשובה

אנחנו פותרים מחר שאלה שכנראה תעזור לך. בינתיים אני ארמוז: מה המימד של הגרעין של פונקציונל?

המשך. הגרעין חייב להיות dimv-1 או שהוא יכול להיות גם dimv? כלומר, יש סיכוי שהמימד של IMT יהיה 0?

פונקציונל האפס..

שאלה - העתקה אוניטרית

אני רוצה להוכיח ש-T אוניטרית (TT*=T*T=I) אם ורק אם T שומרת מ"פ. כיוון אחד טרוויאלי, בכיוון השני אני צריך להוכיח שאם T שומרת מ"פ היא אוניטרית. איך אני עושה את זה? הגעתי למצב שלכל w,v מתקיים: <v,T*Tw>=<v,w> עכשיו, אני יכול לפתח את זה כך: <v,T*Tv>=<v,v> לכל v, אבל איך אני יכול להמשיך מכאן? כלומר, אם <a,b>=<a,c> לכל a, האם זה בהכרח אומר ש-b=c?

מהמצב הזה-<v,T*Tw>=<v,w> אתה יכול להעביר אגף ולהשתמש בלינאריות במשתנה ראשון ולקבל v,T*Tw-w>=0>. זה נכון לכל v, בפרט

לv=T*Tw-w לכן תקבל שT*Tw-w,T*Tw-w>=0>. מחיוביות תקבל שT*Tw-w=0 לכל w לכן T*Tw=Iw לכל w ולכן ההעתקות שוות, T*T=I.

זאת לא ההוכחה שיש באתר?

שאלה

בקשר למשפט השילוש האוניטרי. (למשל עבור ה"ל). אם יש לנו בסיס B כך ש[T] לפי B משולשית (לפי משפט השילוש הרגיל), הגראם שמידט שנבצע על B יהיה בלי נירמול, לא? כלומר, גם אם ננרמל בטוח שהמטריצה תהיה משולשית, אבל בכיתה אמרו שVk~ (~ = החדש, של בסיס א"ג) שווה לVk-1~ ועוד צ"ל של v1~,..vk-2~. כלומר המקדם של Vk-1 שווה ל1, כלומר לא נירמלנו. נכון?

תשובה

חייבים לנרמל, כי אנחנו רוצים מטריצה מלכסנת א"ג כלומר העמודות שלה הן בסיס א"נ ובפרט מנורמלות.

שנית, לא מבצעים גרם שמידט על B כי אז זה לא יהיה שילוש יותר. בדיוק כמו שלא מבצעים גרם שמידט על המטריצה המלכסנת על מנת לקבל לכסון א"ג.

התהליך המלא מפורט בחוברת ובאתר + דוגמאות.

אבל בהוכחה שמדברת על העתקות ליניאריות, מצאנו שT לפי B אחרי שעבר גראם שמידט הוא מטריצה משולשית..!

זה לא נכון. עושים גרם שמידט בנפרד למרחבים העצמיים (בלכסון) ובשילוש יש תהליך שלם, אחרת הבסיס לא יהיה מורכב מו"ע. הרי אחרת המטריצות של כל ההעתקות מעל הבסיס הסטנדרטי היו משולשיות כי זה בא"נ, וזה בוודאי לא נכון.

למה שכולן יהיו משולשיות? אנחנו לא דורשים שB יהיה בא"נ, אלא אנחנו דורשים שB יהיה בסיס של ו"ע! (כלומר הבסיס שמתקבל בלכסון הרגיל), ואז עושים לו גראם שמידט. כך בדיוק צבאן הוכיח לנו את משפט השילוש האוניטרי: לפי משפט השילוש המקורי קיים בסיס B של V כך ש[T] לפי B מטריצה משולשית. ויהי B' הבסיס הא"נ המתקבל מהפעלת ג"ש על B. אז מטריצת המעבר [I] מB' לB היא משולשית עליונה, ואז לפי חישוב פשוט, [T] לפי B' גם היא משולשית עליונה.

קודם כל למטריצה שאינה לכסינה אין בסיס המורכב מו"ע השילוש נועד למטריצות שאינן לכסינות. דבר שני, יכול להיות שטעיתי בכך שפסלתי את הדרך. אם B הוא הבסיס שמשלש, אז ייתכן שהפעלת גרם שמידט עליו תשלש גם היא (לפי מה שתארת). ללכסון זה יכשל... ובכל מקרה חייבים לנרמל בגלל המשפט הראשון שרשמתי.

שאלה

בקשר לציוני תרגיל, למה לחלק מהתלמידים הציון הסופי גבוה מהממוצע בין הממוצע בית לציון בוחן?

איפה מופיעים ציוני התרגיל??

תשובה

כי הם קיבלו את הבונוס...

בעמוד הראשי

• הבונוס לא היה אמור להיות 5 נקודות לבוחן?

לא אמרנו דבר כזה בשום שלב...

• אז מה הוא היה? עיגול ל100?

עיגול זה מילה מצחיקה פה, אבל בגדול זה מה שיצא. הציון המקסימלי הינו 100, ולא במפתיע התלמידים שזכו בבונוס היו לא רחוקים ממנו גם ככה.

• ובכל זאת אפשר לדעת טכנית מה הוא היה? תוספת של כמה נקודות והאם התוספת הייתה לבוחן, לתרגילי בית או לסופי?

הוא היה נתון לשיקול הדעת האישי שלי.

עזרה

מצאתי מבחנים של בועז ובוריס כאן: (לכל מי שצריך) http://bis.bgu.co.il/math/?c_inst=3659&name=אלגברה%20לינארית%202

חיפשתי באתר עם המבחנים של ד"ר צבאן ולא מצאתי שום שאלה לגבי פוליטופים. זה חומר חדש?? אם לא- אז כנראה שלא שואלים עליו במבחנים- אני אדע לא להתמקד בו. ואם כן- אז איפה אני יכול למצוא חומר עליו?

זה חומר חדש. אני לא יודע איפה אפשר למצוא חומר עליו.

משפט ההצגה של ריס

במשפט ההצגה של ריס- איך אני יודע שתמיד קיים v כך שההצגה של V לפי E היא הוקטור a משלים?(כאשר a הוא וקטור המעבר של T בין E לS.)

תשובה

לא הבנתי את השאלה...

אני חושב שאני הבנתי. זה משום שהצגה לפי בסיס זה איזומורפיזם בין V לF^n, כלומר לכל תמונה יש מקור.

שאלה

היטל אפשר לחשב גם בעזרת בסיס א"ג? בהרבה הוכחות שלנו עשינו גראם שמידט בלי נירמול ואז השתמשנו בהיטלים. [אבל בכיתה הגדרנו היטל על בסיס א"נ!]

תשובה

הגדרנו גם היטל על בסיס א"ג, ולמעשה השיטה שלמדנו בתרגיל לאלגוריתם ג"ש מתבססת על היטל על קבוצה א"ג ולא קבוצה א"נ. ולכן אנחנו מחלקים בנורמה

נניח [math]\displaystyle{ S=\{v_1,..v_n\} }[/math] קבוצה א"ג אזי ההיטל של וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] על הקבוצה הינו [math]\displaystyle{ \pi_S(v)=\sum_{i=1}^n\frac{\lt v,v_i\gt }{\lt v_i,v_i\gt }v_i }[/math].

בג"ש אנו מחסרים את ההיטל מהוקטור, וקל לראות שזה בדיוק החלק השלילי בנוסחא של ג"ש.

שאלה

יהיה V מ"ו מעל C, אזי קיים פונקציונל לינארי מV לR. למה זה לא ייתכן?

תשובה

כי לפי הגדרה, פונקציונל הוא מהמרחב לשדה. ולפי ההגדרה שלך השדה הינו C ולא R. במינימום, תכפול בסקלר i ולא תהיה לך סגירות בכלל

שיעור החזרה

איפה יהיה השיעור חזרה? איפה כל קבוצה? ועד מתי הוא ימשך?

תשובה

קיבלתם על זה הודעה, אני לא זוכר את כל המיקומים בע"פ. הוא יהיה במשך שיעור רגיל החל משלוש וחצי, הקבוצה שלי נדמה לי ב202 204

ומה עם הקבוצה של לואי? ולא קיבלנו על זה שום הודעה..

איכשהו תמיד אומרים את זה הסטודנטים שבדר"כ לא מקבלים הודעות ולא מטפלים בזה... סטודנטים קיבלו הודעות. תבררו מחר במחלקה בדיוק איפה זה.

בקשה:

בבקשה תצ'פרו את כולם ב 10 או 20 נקודות לציון הסופי של התרגיל

הציונים הם אחרי התוספת של ה20 נקודות כבר

מה אחוז התרגיל בציון הסופי?

זה ממש לא נכון .. לי ספציפית הציון שקיבלתי הוא 100 בשיעורי הבית ו 70 בבוחן והציון הסופי שלי הוא 84 ככה שלא נוספה לי אפילו לא שמץ של נקודה !!! אז בבקשה תוסיפו

ציניות אחי חח

שאלה - 'הגדרה'

נניח שיש שאלה כזו: "הגדר אופרטור צמוד לעצמו על V" - האם לעניין שהוא 'על V' יש משמעות נוספת, במובן של פונקציות, כלומר אפימורפיזם או משהו כזה, או פשוט שהוא 'עובד' ב-V?

תשובה

הכוונה היא לT:V->V וצל"ע.

פונקציונלים ליניאריים וכל הנושא של המרחב הדואלי

אני זוכר שהמרצה שלי (בוריס) אמר בהתחלה כי פונקציונלים ליניאריים לא יהיה בחומר של הסמסטר הזה, אלא של קורס אחר בשם אנליזה פונקציונלית ובשיעורים של סוף הסמסטר הוא בכל זאת לימד את הנושא הזה ולאחר מכן היה גם תרגול בנושא אז האם בכל זאת צריך לדעת פונקציונלים ליניאריים למבחן?

תשובה

אני חושב שהם לא היו בטוחים בהתחלה אם ללמד את זה או לא. ברגע שזה נלמד זה בחומר

שאלה - וקטורים עצמיים של ע"ע שונים הם בת"ל

איך אפשר להוכיח את זה? ואני מאמין שצריך לדעת להוכיח את זה בלי להשתמש במ"פ, כי היא לא בהכרח מוגדרת.

תשובה

מניחים בשלילה ת"ל, לוקחים את i כאינדקס הקטן ביותר עבורו אפשר לבטא את Vi בעזרת הקודמים לו ומוכיחים שאפשר לבטא גם את Vi-1 בניגוד להנחה, ולכן הם ת"ל

שאלה

למישהו יש רעיון איך אני מוכיח שהשיוויון בקושי שוורץ גורר שהם ת"ל?

כן - שים לב לקשר המעניין בין אי-שוויון קושי שוורץ לאי-שוויון (שוויון פרסבל) בסל...

בסדר, אז איך מוכיחים ששיוויון פרסבל גורר שהם ת"ל?

שוויון פרסבל גורר שהוקטור שייך למרחב שהקבוצה האורתונורמלית שלך פורסת. באי"ש קושי שוורץ מדובר בשני וקטורים, ולכן מבטאים את אי-שוויון בסל עם וקטור, ועוד קבוצה אורתונורמלית שמכילה וקטור חלקיי הנורמה שלו (בהנחה שהוא לא 0), כך שאתה מקבל שאם מתקיים שוויון פרסבל מתקיים שהוקטור הראשון שייך לספאן של הוקטור השני חלקי הנורמה שלו.

אני מדבר על שיוויון פרסבל עצמו, ללא קשר לשוורץ. ממש להוכיח את השיוויון פרסבל...

כדי להוכיח את אי-שוויון בסל אתה לוקח קבוצה א"נ, ומשלים אותה לבא"נ של המרחב. בסופו של דבר, אתה תקבל כזה דבר:

[math]\displaystyle{ |a_1|^2+...+|a_n|^2 = ||v||^2 }[/math]

וכן באגף השני תקבל:

[math]\displaystyle{ |a_1|^2+...+|a_k|^2 }[/math]

עבור סקלרים, כאשר הקבא"נ בגודל k, והבא"נ בגודל n. לפי ההשלמה לבסיס מתקיים ש-n גדול או שווה ל-k. עכשיו, נניח שיש שוויון, אז נקבל ש-

[math]\displaystyle{ a_{k+1}= . . . =a_n=0 }[/math], כלומר n=k, ואז הקבא"נ מתחילת ההוכחה היא בעצם בא"נ למרחב, ואז לכל v במרחב יתקיים ש-v שייך לספאן של הקבוצה, וגם להפך: אם v שייך לספאן של הקבוצה, אזי הוא צ"ל של איבריה (כל V), ואז נקבל את השוויון הרצוי.

שאלה - ריבוי אלגברי

איך אני מגדיר ריבוי אלגברי בצורה "יפה"? האם מספיק לומר שהריבוי האלגברי של ערך עצמי a מוגדר להיות המעלה k של [math]\displaystyle{ (x-a)^k }[/math] בפולינום האופייני של המטריצה?

כן, בהנחה שבפולינום אין עוד איקס מינוס איי.

ריבוי אלגברי הגדרה מלאה: יהי X ע"ע של מטריצה A. הריבוי האלגברי של X הוא הוא החזקה הגדולה ביותר K כך ש [math]\displaystyle{ (x-a)^k }[/math] מחלק את הפולינום האופיני של A.

תרגיל משיעור החזרה

יהיה V מ"ו, ויהי U תת מרחב של V. יהי T ההיטל של V על U. יהי W תת מרחב של V. הוכח שאם W הינו T-אינווריאנטי אזי [math]\displaystyle{ W=(W\cap U)\oplus (W\cap U^{\bot}) }[/math]

הוכחה

לפי משפט הפירוק הניצב [math]\displaystyle{ U\oplus U^{\bot} }[/math] ולכן בוודאי החיתוך [math]\displaystyle{ (W\cap U)\cap(W\cap U^{\bot})=\phi }[/math]. לכן נותר להוכיח שהחיבור שלהם נותן את כל W. יהי [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] אזי בפרט [math]\displaystyle{ w \in V }[/math] ולכן לפי משפט הפירוק הניצב קיימים [math]\displaystyle{ u_1 \in U }[/math] ו [math]\displaystyle{ u_2 \in U^{\bot} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ w=u_1+u_2 }[/math].

אבל W הינו T-אינווריאנטי ולכן [math]\displaystyle{ T(W)\subseteq W }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ T(w)=u_1 \in W }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ w-u_1 = u_2 \in W }[/math] מתוך סגירות, וקיבלנו [math]\displaystyle{ u_1 \in W\cap U }[/math], [math]\displaystyle{ u_2 \in W \cap U^{\bot} }[/math] כפי שרצינו.

הוכחת הכלה חד כיוונית למעשה, למה זה מספיק?

הוכחתי את ההכלה הקשה. מן הסתם צד ימין מוכל בW כי הוא חיתוך של דברים עם W. זה טריוויאלי.

שאלה

אפשר הסבר גיאומטרי למשמעות המושג "מרכז" של שניונית? תודה.

אני אנסה לתת הסבר אינטואיטיבי (לפחות ככה אני מבין את זה). קודם כל שים\י לב שלא לכל שניונית יש מרכז: לפרבולה, למשל, אין להיפרבולה, אליפסה, ישר כפול וכו' יש - אפשר לראות שלמעשה המרכז מהווה נקודת סימטריה, כמו הישר המשקף של העתקת שיקוף, כל נקודה על השניונית מצד אחד נמצאת גם על השניוינית בצד השני של אותה נקודת מרכז. מקווה שעזרתי

בהחלט, תודה (:

שאלה

אם בא למישהו להביא הוכחה לכך שP אוניטרית אם ורק אם העמודות שלה מהוות בסיס אורתונורמלי, היא תתקבל בברכה

תשובה

P*P=I אם"ם [math]\displaystyle{ [PP^*]_{ij}=\delta _{ij} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \delta _{ij}=1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ i=j }[/math] ו[math]\displaystyle{ \delta _{ij}=0 }[/math] אחרת. כלומר אם"ם [math]\displaystyle{ [PP^*]_{ij}=R_i(P^*)C_j(P)=\delta _{ij} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \overline{[C_i(P)]^t}C_j(P)=\delta _{ij} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \lt C_i(P),C_j(P)\gt =\delta _{ij} }[/math]אם"ם עמודות P הינן בא"נ

תודה רבה

דטרמיננטה בעזרת ע"ע

האם לכל מטריצה, גם לכזו שאינה לכסינה, מתקיים שהדטרמיננטה שלה שווה למכפלת הע"ע?

תשובה

כן, ניתן לשלש אותה ואז הדטרמינננטה היא מכפלת איברי האלכסון, הם הע"ע.

שאלה - היטל

יהי V ממ"פ, W תת-מרחב המוכל ב-V, ו-[math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. הגדר : היטל של v על W. האם ההיטל מוגדר להיות הוקטור [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] הקרוב ביותר ל-V, כלומר [math]\displaystyle{ v-\pi (v) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \pi (v) }[/math] פונק' ההטלה על W מוגדרת לפי הבא"נ של W?

תשובה

ההיטל הוא אכן הוקטור הקרוב ביותר [math]\displaystyle{ \pi (v) }[/math], פונקצית ההטלה מן הסתם שולחת וקטור להיטל שלו. [math]\displaystyle{ v-\pi (v) }[/math] אינו ההיטל, הוא הוקטור המאונך להיטל, והנורמה שלו היא המרחק בין v לבין W.

שאלה

האם [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה [math]\displaystyle{ \Longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ A }[/math] נורמלית?

תשובה

לא. אם A לכסינה, אבל לא ע"י מטריצה P אוניטרית, היא לא נורמלית.

שאלה - ריבוי אלגברי/גאומטרי ולכסון

איך מוכיחים שמטריצה A כלשהי ניתנת ללכסון אם"ם הריבויים האלגברי והגאומטרי שווים?

• אומרים/מוכיחים (תלוי מה מבקשים) שA ניתנת ללכסון אם"ם יש בסיס לFn המורכב מהו"ע שלה. לאחר מכן, כיוון אחד הוא מניחים שA לכסינה, ולכן יש בסיס המורכב מהו"ע, ולכן האיחוד של הבסיסים לכל המרחבים העצמיים של הע"ע של A יוצא בסיס לV, ויש n וקטורים כאלה (והם בת"ל) ולכן סכום הריבויים הגאומטריים של כל הו"ע הוא חייב להיות n כי אם לא אז הוקטורים היו ת"ל. בנוסף, סכום הריבויים האלגבריים הוא תמיד n, ולכן הריבויים האלגבריים == הריבויים הגאומטריים. מהכיוון השני, מניחים שסכום הריבויים הגאומטריים הם n כלומר אם נחבר את המימד של כל המרחבים העצמיים יצא לנו n, כלומר סך הכל יש n וקטורים בת"ל שהם ו"ע, ולכן A לכסינה.

שכחת לציין- זה שהסכומים שווים לא בהכרח אומר שכולם שווים. זה נובע מכך שכל ריבוי גאומטרי קטן או שווה לריבוי האלגברי של אותו ע"ע- לפי משפט מההרצאה

שאלה

אם מטריצה לא מנוונת זה אומר ש 0-הוא לא ע"ע שלה??

ראיתי את מושג באיזה מבחן, אבל לא זכור לי שלמדנו את זה בקורס ולכן לא נראה לי שישאלו משהו על זה.

לא מנוונת= הפיכה (כי הגרעין הוא רק 0)

שאלה

למישהו יש הוחכה טובה של מה שאנחנו צריכים לדעת ממשפט איילר?

שאלה

בתרגיל 12 שאלה 2, איל מוצאים את המרחב העצמי של 1? אני מקבל משוואה X+Y+Z=0 מה המרחב העצמי?

תשובה

פתרון המערכת ההומוגנית יש 2 משתנים חופשיים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math] בא"נ אזי גם [math]\displaystyle{ Tv_1,..Tv_n }[/math] בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T=I }[/math]. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: [math]\displaystyle{ \lt Tv_i,Tv_j\gt =\lt v_i,T^*Tv_j\gt =\lt v_i,v_j\gt }[/math] ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.

שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה [math]\displaystyle{ A=PJP^{-1} }[/math] נשחלף לקבל ש [math]\displaystyle{ A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t }[/math] כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס [math]\displaystyle{ v_3,v_2,v_1,v_5,v_4 }[/math].

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!

תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא [math]\displaystyle{ w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{\lt v_i,w_k\gt }{\lt w_k,w_k\gt }w_k }[/math] נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל[math]\displaystyle{ w_1,...,w_{i-1} }[/math]. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה [math]\displaystyle{ \lt w_i,w_j\gt =0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j\lt i }[/math]. אבל לפי ההנחה, הוקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_{i-1} }[/math] מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

[math]\displaystyle{ \lt w_i,w_j\gt =\lt v_i,w_j\gt -\frac{\lt v_i,w_j\gt }{\lt w_j,w_j\gt }\lt w_j,w_j\gt =0 }[/math] כפי שרצינו.

בנוסף, [math]\displaystyle{ w_i\neq 0 }[/math] מכיוון שאחרת [math]\displaystyle{ v_i }[/math] ת"ל ב[math]\displaystyle{ v_1,...,v_{i-1} }[/math] בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?

לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} }[/math].

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים ש[math]\displaystyle{ A^*A }[/math] הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lambda\lt v,v\gt =\lt A^*Av,v\gt =\lt Av,Av\gt \geq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lambda \geq 0 }[/math].

כעת, נניח בשלילה ש[math]\displaystyle{ I+A^*A }[/math] סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר [math]\displaystyle{ |I+A^*A+0\cdot I|=0 }[/math] כלומר, [math]\displaystyle{ |A^*A-(-1)\cdot I|=0 }[/math] כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי [math]\displaystyle{ (-1)^2 }[/math] הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A