להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים.
(למתעניינים, קיימים אלגוריתמים לפירוק פולינומים מעל שדות סופיים ומעל הרחבות של הרציונליים. לא נגע בהם כאן.)
6 כללים\שיטות
(1) כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק.
(2) פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש.
דוגמא: אי פריק מעל
כי אין לו שורשים בשדה.
(3) קריטריון אייזנשטיין:
- יהי
חוג חילופי ו-
אידיאל ראשוני. יהי
כך ש:
- א.
- ב.
לכל
- ג.
- אזי
אי פריק ב-
.
לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:
- יהי
תחום פריקות יחידה עם שדה שברים
ו-
פולינום כך ש:
- א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי
הוא 1.
- ב. קיימים
כך ש-
.
- אזי
.
- בפרט, נובע שפולינום
הוא אי פריק ב-
אם ורק אם הוא אי פריק ב-
.
דוגמא: אי פריק ב-
. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם
כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-
ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-
.