קישורים

[math]\displaystyle{ \ \Longleftarrow }[/math]שאלות ותשובות[math]\displaystyle{ \ \Longrightarrow }[/math]

הודעות

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון [math]\displaystyle{ y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

[math]\displaystyle{ y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ y'(0)=\omega_0 c_2 }[/math]

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

[math]\displaystyle{ c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} }[/math]

ולכן הפתרון הוא:

[math]\displaystyle{ y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

עכשיו נוכל להשאיף [math]\displaystyle{ \omega \rightarrow \omega_0 }[/math] ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

[math]\displaystyle{ y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0} }[/math]

כאשר:

[math]\displaystyle{ A_1=y(0) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} }[/math] הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)

בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים: הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.

למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.

המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue

המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues

המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue

והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו פחות מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue

פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:

רצינו לפתור את המד"ר [math]\displaystyle{ \vec{y}=A \vec{y} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

ל-A יש רק ע"ע אחד [math]\displaystyle{ \lambda=2 }[/math]. נחפש ו"ע [math]\displaystyle{ \vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} }[/math]:

[math]\displaystyle{ A \vec{v}=\lambda \vec{v} }[/math]

[math]\displaystyle{ A \vec{v}=2 \vec{v} }[/math]

[math]\displaystyle{ (2I-A)\vec{v}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0 }[/math]

מקבלים את התנאי [math]\displaystyle{ b=0 }[/math] וניתן לקחת [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] ולקבל ו"ע [math]\displaystyle{ \vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} }[/math] ולכן את הפתרון הקלאסי :

[math]\displaystyle{ \vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t} }[/math]

נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה [math]\displaystyle{ \vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} \right) }[/math].

מצד אחד:

[math]\displaystyle{ \vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} a+bt\\c+dt \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} a+bt\\c+dt \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2a+2bt+b\\2c+2dt+d \end{pmatrix} }[/math]

ומצד שני:

[math]\displaystyle{ A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} a+bt\\c+dt \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2a+2bt+c+dt\\ 2c+2dt\end{pmatrix} }[/math]

כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:

[math]\displaystyle{ c=b }[/math]

[math]\displaystyle{ d=0 }[/math]

([math]\displaystyle{ a }[/math] נשאר חופשי)

נציב זאת בניחוש ונקבל:

[math]\displaystyle{ \vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} b\\0 \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} a+bt\\b \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+b \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t} }[/math]

--Michael 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)