השאלה: נניח שלמטריצות יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות ו דומות.
פתרון:
הרעיון בכלליות: נראה שעבור כל צורה של פ"א ופ"מ (בהתאם לאופייני) למטריצות A, B אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. בגלל שהסדר שלהן קטן יחסית (כי מהחל מסדר 4 המשפט לא מתקיים, אבל אותו רעיון של הוכחה יעבוד עבור סדר 2) אז יש רק צורה אפשרית אחת (עד כדי סדר בלוקים) לכל בחירה של אופייני ומינימלי.
סימונים:
הפולינום האופייני של המטריצה A
הפולינום המינימלי של המטריצה A
צורת הג'ורדן של המטריצה A
בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי
אנו יודעים ש ולכן גם
נפצל את הפתרון לכמה מקרים:
אם ל שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.
אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורה:
ולכן דומות בניהן.
אם ל שורש אחד, כלומר ע"ע אחד
אז (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטנטיות ובגלל שכל פולינום מעל מתפרק לגורמים לינאריים מתקיים:
אחרת נקבל שיש שורש שונה מ- לפולינום האופייני ולכן גם אין ערך עצמי יחיד.
לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:
*למטה פתרון פשוט יותר
ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.
אם אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:
אם אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן:
אם אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן):
בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
מכאן, קיימת הפיכה כך שמתקיים:
ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות.
אם ל שני שורשים אז בהכרח מתקיים:
וגם,
או
נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו:
מקרה 1:
צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים:
מטריצה כזו הינה מהצורה:
והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה
ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה:
הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות.
מקרה 2:
במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: ו-
ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה:
בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות.
מ.ש.ל.
פתרון פשוט יותר
(בלי להעביר לצורה נילפוטנטית)
הגדרה:
האינדקס של ערך עצמי הוא
כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא כמו שהראנו קודם
בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של
נניח שהאינדקס 1
נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1
כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית ולכן היא יחידה
נניח שהאינדקס 2
נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ ,
נניח שהאינדקס 3
נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3
בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות
נניח שיש 2 שורשים שונים כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :
נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של
נניח שהוא 1
נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של הוא 1) ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית
נניח שהוא 2
נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות