הלמה של קנטור
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־08:40, 2 בפברואר 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הלמה של קנטור== תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המו...")
הלמה של קנטור
תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה , כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי מונוטונית עולה וחסומה על ידי , ואילו מונוטונית יורדת וחסומה על ידי .
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש . לכן או וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. ( או .)
לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.