משפט ההגדרה
מתוך Math-Wiki
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו
וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה המקיימת:
הוכחה
יהי אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B
.
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי
.
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר ).
נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר ), מתקיים:
ולכן S=T.