88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3

1

א

חשב את אורך העקום של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

ב

תהי f גזירה ברציפות על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך שאורך העקומה של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.

2

תהי f רציפה ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוכח כי

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|f(x)|^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)| }[/math]

3

תהי f רציפה. לכל אפסילון גדול מאפס נגדיר את הפונקציה

[math]\displaystyle{ g_\epsilon(x)=\frac{1}{2\epsilon}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}f(x+t)dt }[/math]

א

הוכח כי [math]\displaystyle{ g_\epsilon(x) }[/math] גזירה

ב

הוכח כי לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}g_\epsilon(x)=f(x) }[/math]

4

הוכח כי למשוואה [math]\displaystyle{ \int_0^xe^{-t^2}dt=x }[/math] יש פתרון אחד ויחיד. מהו?

5

נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע [math]\displaystyle{ x,y\in [0,2] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ t\in [0,1] }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y) }[/math]

נניח בנוסף כי [math]\displaystyle{ f(1)=1 }[/math] הוכח כי

[math]\displaystyle{ \int_0^2f(t)dt\geq 1 }[/math]