את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל

דוגמה 1

קבעו האם [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2} }[/math] מתכנס או מתבדר.

פתרון

נחלק לשני אינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x+x^2\ge x }[/math], לכן [math]\displaystyle{ \frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x }[/math]. ברור ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x }[/math] מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 }[/math] מתכנס.

עבור [math]\displaystyle{ x\in[1,\infty) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1\sqrt{2x^2}\le\frac1\sqrt{x+x^2} }[/math], ולכן גם כן מתבדר לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתבדר. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

נושא שני:
התכנסות של פונקציות

לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac1{x^n} }[/math]. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-[math]\displaystyle{ \{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty }[/math]. לדגמה, נבחר [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]. קל לראות ש-[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] היא פונקצית הגבול.

הגדרות

סדרה [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה [math]\displaystyle{ f_n }[/math].
אם לכל [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בקטע הסדרה [math]\displaystyle{ \{f_n(x_0)\} }[/math] מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן [math]\displaystyle{ f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x) }[/math].

דוגמה 1

קבעו התכנסות של [math]\displaystyle{ f_n(x)=x^n }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

פתרון

נחלק לשני מקרים:

אם [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ x\in[0,1) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

בדקו התכנסות של [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].

פתרון

נחלק למקרים:

[math]\displaystyle{ x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: תהינה [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|\lt \varepsilon }[/math].

דוגמה 3

נתונה [math]\displaystyle{ f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2 }[/math]. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math].

פתרון

במקרה שלנו קל לראות ש-[math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] מתכנסת נקודתית ל-[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2 }[/math]. מסקנה: [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math].

כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|\lt \varepsilon }[/math]. נציב: [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2\right|=\frac{x^2}n\le\frac1n\lt \varepsilon }[/math]. לכן מספיק לבחור [math]\displaystyle{ n_0\ge\frac1\varepsilon }[/math] ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 4

הראה כי [math]\displaystyle{ f_n(x)=x^n }[/math] לא מתכנסת במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math].

פתרון

מצאנו בדוגמה 1 ש-[math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math]. נשים לב כי [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1 }[/math] ז"א [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0\in(0,1):\ \frac12\lt x_0^n\lt \frac32 }[/math] (לפי הגדרת הגבול). לכן [math]\displaystyle{ \exists\varepsilon\gt 0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n\gt n_0:\ \exists x_0\in(0,1):\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|\gt \frac12\gt \varepsilon }[/math] ולכן ההתכנסות לא במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]