88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5

1.

קבע תחום התכנסות ותחום התכנסות במ"ש של הפונקציות הבאות

א.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{x}{n}ln\Big(\frac{x}{n}\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{n}sin\Big(e^nx\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(-\infty,\infty) }[/math]

ג.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=nsin\Big(\frac{x}{n}\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(-\infty,\infty) }[/math]

ד.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=x\cdot arctan(nx) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(0,\infty) }[/math]

2.

(ממבחן)

תהי סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} }[/math]. נתון כי [math]\displaystyle{ f_n\rightrightarrows f }[/math] (במ"ש) בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:

[math]\displaystyle{ \sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x) }[/math]

3.

(ממבחן)

תהי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] על ידי הנוסחא הרקורסיבית [math]\displaystyle{ f_{n+1}(x)=\sqrt{xf_n(x)} }[/math] ותנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ f_1(x)\equiv 1 }[/math]. הראו כי בקטע סדרת הפונקציות מתכנסת לפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math]

אם למדתם את משפט דיני, הוכיחו כי התכנסות זו הינה במ"ש

4.

מצאו תחומי התכנסות והתכנסות במ"ש של הטורים הבאים:

א.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty ln\Big(1+\frac{x^2}{nln^2n}\Big) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-a,a) }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{e^{nx}} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]

ג.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]

ד.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty 3^nsin\frac{1}{4^nx} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]