אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12
michael.michaeli (@) gmail.com
הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון [math]\displaystyle{ F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty) }[/math]), מכפלה פנימית (כגון [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx }[/math] ב־[math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math]), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz) ([math]\displaystyle{ |\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\| }[/math]), מרחבי הסדרות [math]\displaystyle{ \ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p\lt \infty\right\} }[/math] עם [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i} }[/math], אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:
אי־שיוויון הולדר (Holder)
אם [math]\displaystyle{ x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \frac1p+\frac1q=1 }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ \ell_p,\ell_q }[/math] צמודים) אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q }[/math].
הוכחה
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung): [math]\displaystyle{ \forall\alpha,\beta\gt 0:\ \forall p,q\gt 1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q }[/math]. נבחר עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] כרצוננו [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q} }[/math], ונסכום לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1 }[/math]. נכפול ב־[math]\displaystyle{ \|x\|_p\|y\|_q }[/math]
תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt)
התהליך מאשר להפוך כל קבוצה [math]\displaystyle{ B=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\} }[/math] בת״ל לקבוצה [math]\displaystyle{ \tilde B=\{\tilde\mathbf v_1,\dots,\tilde\mathbf v_n\} }[/math] אורתונורמלית כך ש־[math]\displaystyle{ \mbox{span}(B)=\mbox{span}(\tilde B) }[/math].
טענת עזר: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, ותהי [math]\displaystyle{ S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} }[/math] קבוצה אורתונורמלית ב־[math]\displaystyle{ V }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle }[/math]. הוכחה: [math]\displaystyle{ \langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_i }[/math]
אם נגדיר [math]\displaystyle{ W=\mbox{span}(S) }[/math] תת־מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] ואם [math]\displaystyle{ \mathbf u\in V\setminus W }[/math] אזי ברור ש־[math]\displaystyle{ \mathbf u\ne\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k }[/math]. במקרה זה קיים איבר אחר [math]\displaystyle{ \tilde\mathbf u }[/math] שהוא הקירוב הטוב ביותר ל־[math]\displaystyle{ \mathbf u }[/math] ב־[math]\displaystyle{ W }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ \|\mathbf u-\tilde\mathbf u\| }[/math] מינימלי), ומתקיים [math]\displaystyle{ \tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k }[/math]. דוגמה: נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math]. נגדיר מ״פ באופן הבא: [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx }[/math]. נמצא קירוב ל־[math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math] בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית [math]\displaystyle{ S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\} }[/math]. מתקיים:
ולפיכך [math]\displaystyle{ \left\|x^3-\frac35x\right\| }[/math] מינימלי.