מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12
תוכן עניינים
דוגמה
נניח שגודל החוב ממשכנתה בזמן מסוים![t](/images/math/e/3/5/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![y(t)](/images/math/0/7/0/0707669836d19443cf6c5cc89ca963e6.png)
![R](/images/math/e/1/e/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png)
![P](/images/math/4/4/c/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
![y(t+\Delta t)=y(t)+Ry(t)\Delta t-P\Delta t](/images/math/9/4/2/9421dd620cd6cb4cb399dd26cdbcca8d.png)
![\begin{align}&\lim_{\Delta t\to0}\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}=y'(t)=Ry(t)-P\\\implies&\frac{y'}{y-\frac PR}=R\\\implies&\left|y-\frac PR\right|=c\mathrm e^{Rt}\\\implies&y=\frac PR+c\mathrm e^{Rt}\end{align}](/images/math/e/d/b/edbb88e754e12679268dec35acf4fac6.png)
![y(0)=y_0](/images/math/b/5/f/b5fb5c85c0db982765eca8f6dfeddc5c.png)
![c=y_0-\frac PR](/images/math/1/3/3/13312e317e734086b4ffaa30a475c9a7.png)
![y=\frac PR+\left(y_0-\frac PR\right)\mathrm e^{Rt}](/images/math/f/9/7/f979b0aa41c54021ce519d836e0f7774.png)
![y=0](/images/math/f/a/b/fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png)
![t=\frac{\ln\left(\frac PR\right)-\ln\left(\frac PR-y_0\right)}R](/images/math/e/f/6/ef6782991ce414242697713fd6c913bd.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
מד״ר מסוג ![y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}\right)](/images/math/6/6/a/66a8b54648b3ea7244028d6ded12d680.png)
כבר למדנו לפתור מד״ר מהצורה , והיום נלמד גם
.
מקרה 1
נניח ש־. נסמן
ולכן
. נדרוש שהמקדמים החופשיים יהיו 0 בשני המקרים ולכן
. נקבל
, וזו מד״ר מהצורה
, שאותה אנו יודעים לפתור.
דוגמה
נפתור![y'=\frac{2x+3y+4}{x+y+2}](/images/math/f/3/e/f3ea25d77b6fac21680ce7e7f084236e.png)
![x,y](/images/math/f/1/0/f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png)
![\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{2p+3q}{p+q+\alpha+\beta+2}](/images/math/a/f/1/af1a69c9cdd69b86466be461c248b7aa.png)
![2\alpha+3\beta=-4\ \and\ \alpha+\beta=-2](/images/math/9/b/d/9bd3b9e7f234b40ffe6868124eff8619.png)
![y=q\ \and\ x=p-2](/images/math/c/b/7/cb7983fcece7547423bc8018adcc2955.png)
![z=\frac pq](/images/math/5/f/5/5f56576ecf9474e46b994852cd03ac98.png)
![\begin{align}&p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}+z=\frac{2+3z}{1+z}\\\implies&\int\frac{2-(1-z)}{2+2z-z^2}\mathrm dz=\int\frac{\mathrm dp}p\\\implies&\int\frac2{3-(1-z)^2}\mathrm dz-\frac12\ln|2-2z+z^2|=\ln|p|+c\\\implies&\frac23\arccot\left(\frac{1-z}\sqrt3\right)-\frac12\ln|2-2z+z^2|=\ln|p|+c\end{align}](/images/math/9/0/a/90a34b5ea0d194f73af1d52d8f89050e.png)
![z=\frac y{x+2}, p=x+2](/images/math/6/a/2/6a24931868909cf7d3adb9b838d227ea.png)
מקרה 2: נסמן ואז
. נציב
ואנו כבר יודעים לפתור זאת.
מד״ר לינארית מסדר I
זו מד״ר מהצורה![y'+p(x)y=q(x)](/images/math/6/2/7/627d718d741226d4e7f91ba263b5e84f.png)
![p,q](/images/math/c/1/7/c1753c36ab4eb582f1420d5178cb4bc5.png)
![q(x)\equiv0](/images/math/0/0/e/00eba16ae4cec3b7f5b89c5b57a611ae.png)
![\begin{align}&\int\frac{\mathrm dy}y=-\int p(x)\mathrm dx\\\implies&y=c\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\end{align}](/images/math/e/a/8/ea8acbab1f2132590710996a960faeac.png)
![\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}](/images/math/f/c/f/fcf4b7183d016081a8edf58adbd63fe2.png)
![\left(y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\right)'=q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}](/images/math/e/e/8/ee87298ba00d0172939a4f398d37de32.png)
![y'=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\cdot\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx](/images/math/0/1/f/01f3cca48253a4432e69deca01c06be2.png)
וריאצית הפרמטרים
נניח שהפתרון הוא (במקרה ההומוגני) או
(במקרה הלא הומוגני). נציב זאת במד״ר ונקבל
ולכן
. נותר לפתור את המד״ר
דוגמה
נתונה מד״ר![y'=\frac{x^2-y}x](/images/math/2/0/5/2055b93ec76b7fdc27e70ba6fd09aa05.png)
![y(1)=5](/images/math/d/d/c/ddce2255919a3487bc5d3b43e04bcc37.png)
![y'+\frac1xy=x](/images/math/9/6/9/9694a306d0b3e67355579d3b2066809b.png)
![\begin{align}y&=\mathrm e^{-\int\frac{\mathrm dx}x}\int x\mathrm e^{\int\frac{\mathrm dx}x}\\&=\mathrm e^{-\ln|x|}\int x|x|\mathrm dx\\&=\frac{c_1}{|x|}+\frac1x\int x^2\mathrm dx\\&=\frac{c_1}{|x|}+\frac{x^2}3\\&=\frac cx+\frac{x^2}3\end{align}](/images/math/6/c/a/6ca2f813b184f1d8c6eef575151d766c.png)
![c=\sgn(x)c_1](/images/math/3/1/b/31b07ce861fb740a1d9dcbb460aaf0a3.png)
![5=\frac c1+\frac{1^2}3\implies c=\frac{14}3](/images/math/7/3/5/735beeac5f4b03a4a92b38ea4c5f6f0c.png)
![y=\frac{14}{3x}+\frac{x^2}3](/images/math/0/5/5/05551ca710d967dd2452648b8d78bef5.png)
משוואות ברנולי
אלה מד״ר מהצורה . אם
אז
פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם
אזי
אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה
ולהציב
. נקבל
ואז
, שהיא מד״ר לינארית מסוג I. לפיכן
. לבסוף,
.
עבור ,
פתרון פרטי (רגולרי), עבור
זה פתרון סינגולרי, ועבור
הוא אינו פתרון.
דוגמה
נפתור . עבור הסימנים הנ״ל
ואז
. נציב
ואז
, ולבסוף
.
מד״ר מדויקת
. נניח שקיימת
עבורה
. לפיכך
והמד״ר הופכת ל־
כלומר
. אם היא קיימת אזי
.
דוגמה
. לפיכך
, כדרוש. מתקיים
. נדרוש ש־
ואז
. לבסוף נדרוש ש־
יקיים
(נשים לב שניתן לבחור גם כל קבוע אחר מלבד 0, אבל שינוי בסה״כ יחליף את הקבוע
).
גורם אינטגרציה
אם נכפיל את אגפי המד״ר ב־ נקבל
. לפיכך
.
מקרה 1
תלוי רק ב־
. לכן
לפיכך
. נשים לב ש־
תלוי רק ב־
אם״ם
תלוי רק ב־
.
מקרה 2
תלוי רק ב־
. זה מתקיים אם״ם
תלוי רק ב־
, ואז
.
דוגמה
נפתור את המד״ר . אזי
. נשים לב ש־
, כלומר תלוי אך ורק ב־
, ולכן נגדיר
. נכפיל את אגפי המד״ר ב־
ונקבל
. המד״ר החדשה מקיימת
, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל.
הערה: נשים לב ש־ תלוי גם ב־
וגם ב־
, ולכן הגדרת
התלויה ב־
לא תועיל לנו.