מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/2.8.12

פתרון המד״ר משיעור קודם: [math]\displaystyle{ \frac{\ln\left(\frac y{x+2}+\sqrt3-1\right)-\ln\left(-\frac y{x+2}+\sqrt3+1\right)}\sqrt3-\frac12\ln\left|2+\frac{2y}{x+y}-\left(\frac y{x+2}\right)^2\right|=\ln|x+2|+c }[/math].

מד״ר מסדר גבוה

מד״ר מסדר שני: [math]\displaystyle{ F(x,y,y',y'')=0 }[/math]. הפתרון הוא מהצורה [math]\displaystyle{ y=\varphi(x,c_1,c_2) }[/math].

בעיית קושי מסדר 2

נתונים שני תנאי התחלה [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0' }[/math] (כמובן ש־[math]\displaystyle{ y_0' }[/math] אינו הנגזרת של הקבוע [math]\displaystyle{ y_0 }[/math], אלא ערך הנגזרת בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]).

סוג 1

מתקיים [math]\displaystyle{ y^{(n)}=f(x) }[/math]. ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים (במקרה שלנו, [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]).

סוג 2

אלה המקרים שבהם ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:

מקרה 1: [math]\displaystyle{ y }[/math] לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה [math]\displaystyle{ y''=f(x,y') }[/math]. במקרה זה נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונקבל מד״ר מסדר ראשון. נדגים: [math]\displaystyle{ y''=x y' }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ z'=xz }[/math], לפיכך [math]\displaystyle{ \int\frac{z'}z\mathrm dz=\int x\mathrm dx }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \ln|z|=\frac{x^2}2+c_1 }[/math]. מכאן ש־[math]\displaystyle{ y=c_1\int\mathrm e^{\frac{x^2}2}\mathrm dx }[/math].

מקרה 2: [math]\displaystyle{ x }[/math] לא מופיע, כלומר המד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y''=f(y,y') }[/math]. שוב נגדיר [math]\displaystyle{ z=y' }[/math], ואז [math]\displaystyle{ y''=z'=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z_y' z }[/math]. המד״ר הופכת ל־[math]\displaystyle{ zz_y'=f(y,z) }[/math], כלומר מד״ר מסדר ראשון של [math]\displaystyle{ y,z }[/math]. נובע ש־[math]\displaystyle{ x=\int\frac{\mathrm dy}z }[/math]. דוגמה: בהנתן [math]\displaystyle{ yy''-2(y')^2=0 }[/math] נציב באופן הנ״ל ונקבל [math]\displaystyle{ y\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}=2z }[/math], כך שלבסוף [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dz}{2z}=\int\frac{\mathrm dy}y\implies z=c_1\mathrm e^{y^2} }[/math]. נותר להציב ולקבל [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=c_1y^2\implies\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=\int c_1\mathrm dx\implies y=\frac{c_2}{c_1x+1} }[/math].

משוואת ריקטי

מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0 }[/math]. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)} }[/math], ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.

הוכחה

ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: [math]\displaystyle{ y\cdot(cA+B)=ca+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ c(yA-a)-b+yB=0 }[/math]. נגזור את שני האגפים ונקבל [math]\displaystyle{ c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0 }[/math]. שתי המשוואות האחרונות נכונות לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0 }[/math]. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־[math]\displaystyle{ y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0 }[/math], כדרוש.

לצד השני, תהי [math]\displaystyle{ y_p(x) }[/math] פתרון פרטי [math]\displaystyle{ a }[/math] של משוואת ריקטי. נציב [math]\displaystyle{ y(x)=y_p(x)+z(x) }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ z'+y_p'+f(x)\left(z^2+2zy_p+y_p^2\right)+g(x)(y_p+z)+h(x)=0 }[/math] (*). אמרנו ש־[math]\displaystyle{ y_p }[/math] פתרון של משוואת ריקטי ולכן [math]\displaystyle{ y_p'+f(x)y_p^2+g(x)y_p+h(x)=0 }[/math]. נשים לב שאגף שמאל מופיע במשוואה (*) ונציב: [math]\displaystyle{ z'+\left(2f(x)y_p+g(x)\right)z+z^2=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ z=\frac1{c\alpha(x)+\beta(x)} }[/math] ולבסוף [math]\displaystyle{ y=y_p+z=\frac{cy_p(x)\alpha(x)+y_p(x)p(x)+1}{x\alpha(x)+\beta(x)} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מערכת מד״ר מסדר ראשון

מהצורה [math]\displaystyle{ \vec F(x,\vec y,\vec y')=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] היא מערכת של [math]\displaystyle{ n }[/math] פונקציות ב־[math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] משתנים. בצורה נורמלית: [math]\displaystyle{ \vec y'=\vec f(x,\vec y) }[/math]. לפיכך [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varphi(x,c_1,c_2)\\\psi(x,c_1,c_2)\end{pmatrix} }[/math].

דוגמה

[math]\displaystyle{ y_1'+\sin(x)+y_1y_2x^2=0 }[/math]. גזירת שני האגפים תתן [math]\displaystyle{ \frac{y_1'}{y_2}+\frac{y_2'}{y_1}+\cos(x)=0 }[/math].

בעיית קושי

נתון תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ \vec y(x_0)=\vec y_0 }[/math].

משפט

מד״ר מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] (נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית) שקולה למערכת של [math]\displaystyle{ n }[/math] מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים תנאי התחלה [math]\displaystyle{ y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0) }[/math] זה שקול לבעיית קושי עבור המערכת.

הוכחה

נתונה המד״ר [math]\displaystyle{ F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ \forall k=1,\dots, n-1:\ y_k=y^{(k)} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{k-1},y_{k-1}')=0 }[/math]. נוסיף את המד״ר הבאות: [math]\displaystyle{ \forall k=1,\dots,n-1:\ y_k=y_{k-1}' }[/math]. המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית בהתאם למערכת המקורית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה

[math]\displaystyle{ y^{(3)}+x^2y''+\sin(x)y=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ו־[math]\displaystyle{ w=z'=y'' }[/math]. לפיכך [math]\displaystyle{ \begin{cases}w'+x^2w+\sin(x)y=0\\z=y'\\w=z'\end{cases} }[/math].

מד״ר סתומות מסדר 1

אלה מד״ר [math]\displaystyle{ F(x,y,y')=0 }[/math] שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.

מקרה 1: משוואה מסדר 1 ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ (y')^n+P_1(x,y)(y')^{n-1}+\dots+\P_{n-1}(x,y)y'+P_n(x,y)=0 }[/math]. מכאן שקיימות פונקציות [math]\displaystyle{ f_k,\quad k\in\{1,2,\dots,n\} }[/math] שעבורן [math]\displaystyle{ (y'-f_1(x,y))\cdot\dots\cdot(y'-f_n(x,y))=0 }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ (y')^2-\frac{xy}{a^2}=0 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \left(y'-\frac\sqrt{xy}a\right)\left(y'+\frac\sqrt{xy}a\right)=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \frac{y'}\sqrt y=\pm\frac\sqrt{xy}a }[/math]. נפעיל אינטגרציה: [math]\displaystyle{ 2\sqrt y=\pm\frac{2x^{3/2}}{3a}+c }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y=\frac14\left(c\pm\frac{2\sqrt x^3}{3a}\right)^2 }[/math].

מקרה 2: [math]\displaystyle{ x }[/math] לא מופיע במד״ר. צורתה [math]\displaystyle{ F(y,y')=0 }[/math] ובהצבת [math]\displaystyle{ p=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ F(y,p)=0 }[/math]. נשים לב ש־[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dp}p=\mathrm dx }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=\int\mathrm dx-c_1=c+\int\frac{\mathrm dy}p=c+\int\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp }[/math]. לבסוף, אם [math]\displaystyle{ y=\varphi(p) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x=c+\frac{\varphi(p)}p+\int\frac{\varphi(p)}{p^2}\mathrm dp }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ y=(y')^2+2(y')^3 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ p=y' }[/math] ולפי המד״ר, [math]\displaystyle{ y=p^2+2p^3 }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ x=c+\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp=c+\frac{p^2+2p^3}p+\int(1+2p)\mathrm dp=c+p+2p^2+p+p^2=c+2p+3p^2 }[/math].

מקרה 3: [math]\displaystyle{ y }[/math] לא מופיע, [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y'=p }[/math] ואז, אם [math]\displaystyle{ x=\varphi(y') }[/math], מתברר ש־[math]\displaystyle{ x=\varphi(p) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ y=\int p\mathrm dx+c=c+px-\int x\mathrm dp }[/math]. לסיכום, [math]\displaystyle{ y=c+p\cdot\varphi(p)-\int\varphi(p)\mathrm dp }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ x=y'\sin(y') }[/math]. אחרי הצבה [math]\displaystyle{ x=p\sin(p) }[/math] ולבסוף [math]\displaystyle{ y=c+p\cdot p\sin(p)-\int p\sin(p)\mathrm dp=x+p^2\sin(p)+p\cos(p)-\sin(p) }[/math].

מקרה 4: [math]\displaystyle{ x }[/math] או [math]\displaystyle{ y }[/math] מופיעים, אבל המד״ר סתומה לגביהם. דהיינו, [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ F(y,y')=0 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ y'=p }[/math].

מקרה 4.1: [math]\displaystyle{ F(y,p)=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=\varphi(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ p=\psi(t) }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases} }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ y=a\sqrt{1+(y')^2} }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ \psi(t)=\sinh(t)=p }[/math], נציב במד״ר ונקבל [math]\displaystyle{ y=a\cosh(t)=\varphi(t) }[/math]. לבסוף, [math]\displaystyle{ x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c }[/math].

מקרה 4.2: [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ p=y',x=\varphi(t) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ F(\varphi(t),p)=0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ p=\psi(t) }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)} }[/math]. מאינטגרציה נקבל [math]\displaystyle{ y=c+\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x=\varphi(t) }[/math].