מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/2.8.12
פתרון המד״ר משיעור קודם: .
תוכן עניינים
מד״ר מסדר גבוה
מד״ר מסדר שני: . הפתרון הוא מהצורה
.
בעיית קושי מסדר 2
נתונים שני תנאי התחלה (כמובן ש־
אינו הנגזרת של הקבוע
, אלא ערך הנגזרת בנקודה
).
סוג 1
מתקיים . ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה
פעמים (במקרה שלנו,
).
סוג 2
אלה המקרים שבהם ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:
מקרה 1: לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה
. במקרה זה נציב
ונקבל מד״ר מסדר ראשון. נדגים:
. לכן
, לפיכך
ואז
. מכאן ש־
.
מקרה 2: לא מופיע, כלומר המד״ר מהצורה
. שוב נגדיר
, ואז
. המד״ר הופכת ל־
, כלומר מד״ר מסדר ראשון של
. נובע ש־
. דוגמה: בהנתן
נציב באופן הנ״ל ונקבל
, כך שלבסוף
. נותר להציב ולקבל
.
משוואת ריקטי
מד״ר מהצורה . פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה
, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
הוכחה
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: ולכן
. נגזור את שני האגפים ונקבל
. שתי המשוואות האחרונות נכונות לכל
ולפיכך
. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־
, כדרוש.
לצד השני, תהי פתרון פרטי
של משוואת ריקטי. נציב
. עתה
(*). אמרנו ש־
פתרון של משוואת ריקטי ולכן
. נשים לב שאגף שמאל מופיע במשוואה (*) ונציב:
. נציב
ולבסוף
.
מערכת מד״ר מסדר ראשון
מהצורה כאשר
היא מערכת של
פונקציות ב־
משתנים. בצורה נורמלית:
. לפיכך
.
דוגמה
. גזירת שני האגפים תתן
.
בעיית קושי
נתון תנאי ההתחלה .
משפט
מד״ר מסדר (נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית) שקולה למערכת של
מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים תנאי התחלה
זה שקול לבעיית קושי עבור המערכת.
הוכחה
נתונה המד״ר ונסמן
. לכן
. נוסיף את המד״ר הבאות:
. המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית בהתאם למערכת המקורית.
דוגמה
. נציב
ו־
. לפיכך
.
מד״ר סתומות מסדר 1
אלה מד״ר שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.
מקרה 1: משוואה מסדר 1 ממעלה :
. מכאן שקיימות פונקציות
שעבורן
. דוגמה:
לכן
ואז
. נפעיל אינטגרציה:
, כלומר
.
מקרה 2: לא מופיע במד״ר. צורתה
ובהצבת
נקבל
. נשים לב ש־
ולכן
. לבסוף, אם
אזי
. דוגמה:
. נסמן
ולפי המד״ר,
. עתה
.
מקרה 3: לא מופיע,
. נציב
ואז, אם
, מתברר ש־
. אזי
. לסיכום,
. דוגמה:
. אחרי הצבה
ולבסוף
.
מקרה 4: או
מופיעים, אבל המד״ר סתומה לגביהם. דהיינו,
או
. נגדיר
.
- מקרה 4.1:
. נציב
ו־
. מתקיים
. נקבל
, כלומר
. דוגמה:
. נסמן
, נציב במד״ר ונקבל
. לבסוף,
.
- מקרה 4.2:
. נציב
. אזי
ונסמן
. עתה
. מאינטגרציה נקבל
כאשר
.