מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
מתוך Math-Wiki
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה
. אם
אזי
פתרון, ואם
אזי
פתרון. אחרת
.
- נתונה מד״ר
. אז נציב
ו־
.
- הכללה: נתונה מד״ר
. אם
נציב
כאשר
. אחרת נבחר
ונציב
.
- הכללה: נתונה מד״ר
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר
. אזי נציב
ו־
.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר
. אם היא לינארית־הומוגנית אזי
, ובכל מקרה
.
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר
. נציב
, כאשר אם
אז
פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־
), אם
אז פתרון סינגולרי, ואם
אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים:
.
- מד״ר מהצורה
היא מדויקת אם״ם יש
כך ש־
שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
כך שתהפוך למדויקת.
תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
. היא תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה
. הפתרון הכללי הוא מהצורה
. אם
פתרון אזי
הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר
ממעלה
. אזי קיימות פונקציות
שעבורן
.
- אם
נציב
ואז
עבור
יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- אם
נציב
ואז
עבור
יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר
או
נציב
ונקבל
או
, בהתאמה. מתקיים
ו־
.