מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/9

נגזרות

אנו יודעים כי השיפוע של קו ישר הוא ההפרש בציר ה-y חלקי ההפרש בציר ה-x. הנגזרת של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק באותה הנקודה.

נגזרות ידועות:

עבור c קבוע, [math]\displaystyle{ \Big(c\Big)'=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(x^n\Big)'=nx^{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(sin(x)\Big)'=cos(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(cos(x)\Big)'=-sin(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(a^x\Big)'=ln(a)\cdot a^x }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(arctan(x)\Big)'=\frac{1}{1+x^2} }[/math]

נוסחאות גזירה

[math]\displaystyle{ (cf)'=c\cdot f' }[/math]

[math]\displaystyle{ (f+g)'=f'+g' }[/math]

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'g+g'f }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g' }[/math]

תרגיל גזור את הפונקציות הבאות:

[math]\displaystyle{ tan(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(ax+b)^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ sin\Big(\frac{e^x}{x^e}\Big) }[/math]

בעיות מינימום/מקסימום

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה גזירה. רוצים לדעת מה המקסימום והמינימום שהפונקציה מקבלת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

אם הפונקציה מקבלת נקודת קיצון (מינ' או מקס') בחלק הפנימי של הקטע ([math]\displaystyle{ a\lt x\lt b }[/math]) אזי הנגזרת שלה חייבת להתאפס בנקודה.

לכן, נמצא את כל הנקודות בקטע בהן הנגזרת מתאפסת, נוסיף את קצוות הקטע (בהן הנגזרת לא חייבת להתאפס) ונבדוק מתי הפונקציה מקבלת את הערך המקסימלי שלה ומתי את הערך המינימלי

תרגיל: מצא את המינימום והמקסימום של הפונקציה [math]\displaystyle{ x^7-x^8 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]

בנוסף, לעיתים ניתן למצוא ולאפיין נקודת קיצון על ידי הנגזרת השנייה:

נניח [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מינימום מקומי (כלומר, f קטנה או שווה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מכל הנקודות הקרובות אליה)

נניח [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מקסימום מקומי (כלומר, f גדולה או שווה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מכל הנקודות הקרובות אליה)

תרגיל: נביט בכל המלבנים שהיקפם 8.

א. האם יש מלבן כזה עם שטח מקסימלי או מינימלי?

ב. מצא את אותו שטח קיצוני.