משתמש:איתמר שטיין
הוכחה לטענה ש [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] ניתן להציג את [math]\displaystyle{ A }[/math] כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
שלב א':
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
[math]\displaystyle{ (\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j} }[/math]
שלב ב': הוכחת [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
שלב ג': מטריצה [math]\displaystyle{ C }[/math] בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. כי לכל מטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] שהיא (נניח ש [math]\displaystyle{ i }[/math] היא שורת האפסים)
מתקיים לפי כפל שורה שורה [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I) }[/math].
שלב ד': נתחיל להוכיח את [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא [math]\displaystyle{ I }[/math].
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] ב [math]\displaystyle{ P }[/math].
קיימות מטריצות אלמנטריות [math]\displaystyle{ E_1,\ldots ,E_k }[/math] כך ש
[math]\displaystyle{ E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P }[/math].
[math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא [math]\displaystyle{ I }[/math] או שיש בה שורת אפסים.
לכן [math]\displaystyle{ P=I }[/math]. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
שלב ה: סיום
נותר רק לכפול משמאל את
[math]\displaystyle{ E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I }[/math].
ב [math]\displaystyle{ (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} }[/math].
ולקבל
[math]\displaystyle{ A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} }[/math]
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
קיבלנו ש[math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--איתמר שטיין 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)