אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'
חלק א'
שאלה 1
ב. הפרכה:
נניח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] באמת חד חד ערכית.
זה אומר כי [math]\displaystyle{ Ker(T)=\{0\} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math].
לפי משפט הדרגה [math]\displaystyle{ dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n }[/math]
היות ו [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math].
נקבל כי [math]\displaystyle{ dimIm(T)=n }[/math].
מצד שני, [math]\displaystyle{ Im(T) \subseteq W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ dimIm(T) \leq dim W =m }[/math].
קיבלנו ש [math]\displaystyle{ n=dimIm(T)\leq m }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ n \leq m }[/math] בסתירה לנתון ש [math]\displaystyle{ n \gt m }[/math].
סתירה.
ולכן [math]\displaystyle{ T }[/math] לא יכולה להיות חד חד ערכית.
שאלה 2
ראשית נוכיח כי [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל.
נייצג את איברי [math]\displaystyle{ B }[/math] בתור וקטורי קוארדינטות ב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math] לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל
[math]\displaystyle{ (1,1,1,1),(3,4,0,5) }[/math].
נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\\ 3 & 4 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2-3R_1}
{\rightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 1 & -3 & 2
\end{bmatrix}
}[/math]
הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.
(הערה: מי שהראה שכל צירוף [math]\displaystyle{ \alpha (1+x+x^2+x^3) + \beta(3+4x+5x^3)=0 }[/math] מחייב ש [math]\displaystyle{ \alpha=\beta=0 }[/math]. זאת גם תשובה טובה. וגם מי שהראה שאין [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3 }[/math] זו גם תשובה נכונה).
השלמת [math]\displaystyle{ B }[/math] לבסיס:
הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] למדנו שאפשר להוסיף את [math]\displaystyle{ (0,0,1,0),(0,0,0,1) }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ e_i }[/math] עבור כל עמודה [math]\displaystyle{ i }[/math] של משתנה חופשי.
ולכן קיבלנו בסיס [math]\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3,3+4x+5x^2,x^2,x^3 }[/math].
שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את [math]\displaystyle{ x^2,x^3 }[/math] - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות.
הסברים מקובלים:
יש איברים מובילים בעמודות [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math].
יש משתנים חופשיים בעמודות [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math]
אם מוסיפים את [math]\displaystyle{ e_3,e_4 }[/math] המטריצה נשארת מדורגת.
אם מוסיפים את [math]\displaystyle{ e_3,e_4 }[/math] שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית.
או משהו בסגנון.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא [math]\displaystyle{ x^2,x^3 }[/math]) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם)
גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון.
יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות.