מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

1

קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

• יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

• יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

• לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

2

הגדרה:

קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R} }[/math] כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:

• וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ v_1+v_2+...+v_n \neq 0 }[/math]
  • לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס

• וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ 0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0 }[/math]
  • לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)

• וקטורים המקיימים את התנאי- אם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n=0 }[/math]
  • כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R} }[/math] כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math], אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.

• וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]
  • לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור [math]\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n=0 }[/math]

3

תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון [math]\displaystyle{ C \subseteq A\cup B }[/math].

הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:

• [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] או [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]
  • הפרכה: [math]\displaystyle{ A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\} }[/math]

• אם [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]
  • הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ x \in C }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ x \in A\cup B }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] או [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]. נתון [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x \not\in A }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]

• [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]
  • הפרכה: [math]\displaystyle{ A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=B }[/math]

• [math]\displaystyle{ C\backslash A \subseteq B }[/math]
  • הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ x \in C\backslash A }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ x \in A\cup B }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] או [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.

• אם [math]\displaystyle{ C=A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]
  • הפרכה: [math]\displaystyle{ A=\{1\},B=\empty,C=A }[/math]

• [math]\displaystyle{ \Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B }[/math]
  • הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):

1. אם [math]\displaystyle{ A \subseteq X }[/math] וגם [math]\displaystyle{ B \subseteq X }[/math] אז [math]\displaystyle{ A\cup B \subseteq X }[/math]

2. [math]\displaystyle{ (A \backslash X) \cup X \supseteq A }[/math]

• [math]\displaystyle{ \Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B }[/math]
  • הוכחה:

אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב[math]\displaystyle{ A\cup B }[/math] לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין יהי [math]\displaystyle{ x \in A\cup B }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x \in C }[/math] אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, [math]\displaystyle{ x \not\in C }[/math]. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב[math]\displaystyle{ A\backslash C }[/math] ואם הוא בB אז הוא ב[math]\displaystyle{ B\backslash C }[/math]. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל