שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא בדף הראשי של הקורס.

הנחיות

1. כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
2. אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
3. חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "~~~~". פתיחת חשבון - חינם.
4. אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

תרגיל 4 סעיף 2

לא הבנתי איך להוכיח בהנתן גרעין את ההומומורפיזם של פונקציה אני מבקש מלואי פולב הסבר .

תודה מראש יבגני פודוקשיק.

<n>.owiki>יבגני פודוקשיק 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki

תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה

בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי? זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.

כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --לואי 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

שאלה

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8 אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--לואי 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

תרגיל 1, שאלה מס' 3

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא? כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!

כן... זה אותו הרעיון... --לואי 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'

בחבורה למחצה [math]\displaystyle{ S }[/math] יש 7 יחידות משמאל.

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?

כן, יש 7 יחידות שונות משמאל. --לואי 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 1, שאלה 3

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.

• קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
• שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור [math]\displaystyle{ \mod n }[/math] וכדומה. --לואי 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )

לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"

אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --מני 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי [math]\displaystyle{ J }[/math] בלוק ג'ורדן, אזי לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ J^n \neq I }[/math]. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--לואי 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 2, שאלה 4

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?) אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית, אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?

[math]\displaystyle{ \mathbb {Z}_n }[/math] ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם [math]\displaystyle{ n }[/math] ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.

לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת תמיד כחבורת ההפיכים של המונואיד [math]\displaystyle{ \mathbb {Z}_n }[/math] ביחס לכפל.--מני 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

סילבוס

היי , איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?

הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --מני 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב'

אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר) על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה

אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --מני 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 2 שאלה6

כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?

הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים

[math]\displaystyle{ m^0:=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --מני 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --לואי 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

פתרונות לתרגילים

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א

האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?

לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --מני 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג'

האם [math]\displaystyle{ \phi(0)=0 }[/math]?

[math]\displaystyle{ \phi(0) }[/math] אינו מוגדר. עם זאת [math]\displaystyle{ \phi(1)=1 }[/math], ובתרגיל המדובר הניחו ש- [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math]. --לואי 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

הערך [math]\displaystyle{ \phi(0) }[/math] אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים [math]\displaystyle{ \ 1,-1 }[/math], שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-[math]\displaystyle{ \ 1,-1 }[/math]), מתקיים [math]\displaystyle{ \ a^2 \equiv 1 \pmod{0} }[/math]. עוזי ו. 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

הוכחה קשה באגודות

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס: הוכח שאם באגודה [math]\displaystyle{ S }[/math] יש לכל [math]\displaystyle{ a,b \in S }[/math] פתרונות יחידים [math]\displaystyle{ x,y \in S }[/math] למשוואות [math]\displaystyle{ ax=b, ya=b }[/math] אז [math]\displaystyle{ S }[/math] היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

(לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה [math]\displaystyle{ a*y=a }[/math] כ[math]\displaystyle{ e_{a} }[/math].

יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: [math]\displaystyle{ (ab)*e_{ab}=ab }[/math]

ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: [math]\displaystyle{ b*e_{ab}=b }[/math], וזה בעצם אומר [math]\displaystyle{ e_{ab}=e_{b} }[/math].

וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

תרגיל 3, שאלה 4

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:

"Left cosets of H in G"

"Left cosets of G with respect to H"

--לואי 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 4- שאלה 3(ג)

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?

נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --מני 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל4, שאלה2(ב)

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה

גם אם הסדר של [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא אינסופי אז אמור להתקים ואפשר להוכיח זאת [math]\displaystyle{ o(a)=o(\varphi(a))=\infty }[/math] ולכן אין צורך להניח שהסדר סופי.אפשר כמובן לטפל במקרה האינסופי בהתחלה ואז לדון במקרה הסופי.

לגבי ג: מספר היוצרים לא נשמר בהכרח. אם היה מדובר באיזומורפיזם אז זה היה נכון אך בשאלה אנו מניחים רק אפימורפיזם. יתכן בהחלט ש[math]\displaystyle{ \varphi(a_1)=\varphi(a_2) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_1,a_2 }[/math] יוצרים של [math]\displaystyle{ G }[/math]. --מני 11:10, 23 בנובמבר 2012 (IST)

בסעיף ב לא מספיק להניח מונומורפיזם? בסעיף ג' צריך להראות שהומ' לוקח קבוצת יוצרים של G (חבורה כלשהי) לקבוצת יוצרים שיוצרים את G או את [math]\displaystyle{ f(G) }[/math] ?

לגבי סעיף ב' נכון מספיק אפילו מונומורפיזם. לגבי סעיף ג' פרסמנו כבר תיקון שמדובר באפימורפיזם ולא הומומורפיזם. --מני 18:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה 5(4)

מה הכוונה בסימון [math]\displaystyle{ x\mod3 }[/math]? אני מניח שזה השארית אחרי חילוק ב-3(כלומר, 012), אבל אני לא בטוח. תודה.

אתה צודק. --מני 18:06, 24 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה 2 סעיף ג'

האם צריך להוכיח גם עבור המקרה שהחבורות אינן נוצרות סופיות?

לטובת מי שאינו יודע מהי "שאלה 2 סעיף ג'" (למשל: המרצה, וכל מי שילמד את הקורס בעוד שנה ושנתיים), אנא צטט את השאלה. עוזי ו. 23:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה 2, סעיף ג': הראו שאפימורפיזם מעביר קבוצת יוצרים לקבוצת יוצרים.

הטענה נכונה גם כשהחבורות אינן נוצרות סופית. תהי G חבורה ותהי S קבוצת יוצרים שלה. יהי [math]\displaystyle{ \ f : G \rightarrow H }[/math] אפימורפיזם. צריך להוכיח שתמונת S, כלומר הקבוצה [math]\displaystyle{ \ f(S) = \{f(x) \,: \, x \in S\} }[/math], יוצרת את H. יהי [math]\displaystyle{ \ h \in H }[/math]. לפי ההנחה יש [math]\displaystyle{ \ g\in G }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \ f(g) = h }[/math]. מכיוון ש-S יוצרת את G, אפשר להציג את g כמכפלה [math]\displaystyle{ \ g = x_1x_2\cdots x_n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \ x_1,\dots,x_n \in S \cup S^{-1} }[/math] (לא בהכרח שונים זה מזה). כעת [math]\displaystyle{ \ f(g) = f(x_1)f(x_2) \cdots f(x_n) \in \langle f(S)\rangle }[/math], מש"ל. עוזי ו. 15:56, 25 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל4, שאלה7

מותר שלא להשתמש בהדרכה? תודה

כן. --מני 23:24, 25 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה- קשורה (או שלא?) איכשהו לתרגיל בית

אם יש לי שתי ת"ח בחבורה מסויימת, יש איזשהו מצב שהאינדקס של החיתוך שלהן הוא בדיוק הכפולה המשותפת המינימלית של האינדקסים של כל אחת מהן בנפרד?או שבכלל אין קשר??

תודה.

יש קשר. למעשה ניתן להראות שבהינתן [math]\displaystyle{ H,K \leq G }[/math] אזי [math]\displaystyle{ [G: H \cap K] \geq lcm([G:H],[G:K]) }[/math]. כמובן שאי אפשר להתשמש בזה בלי להוכיח. הנה תרגיל חביב: מצאו דוגמא שבה השוויון לא מתקיים (אפילו במקרה בו האינדקסים סופיים) --לואי 17:43, 26 בנובמבר 2012 (IST)

מממ בכל מקרה שהאינדקס של H ושל K זרים?

הכונה באי השויון הנ"ל (שהאינדקס של החיתוך בחבורה גדול או שווה ...) היתה תמיד עבור אינדקסים סופיים

בלי קשר אם האינדקסים זרים או לא. ישנן דוגמאות נגדיות לכך שאין שוויון אבל זה דווקא כשהאינדקסים אינם זרים ולזה לואי התכוונה. במקרה שהאינדקסים זרים בוודאות לא תהיה דוגמא נגדית. כי אחרת...--מני 18:57, 26 בנובמבר 2012 (IST)

חחח אז זהו..אחרי שעניתי קלטתי שלא עניתי על השאלה..כנראה שעניתי על ה"כי אחרת..." שלך..;)

גם ככה מצבך טוב (ביחס לתרגיל בית)  :)--מני 22:59, 26 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 4 שאלה 7

האם ניתן להניח שהחבורות מסדר סופי, על מנת להשתמש במשפט לגראנז'?

לא. אבל אפשר להיעזר בתרגילים קודמים ובכך שהאינדקסים סופיים.--מני 17:22, 27 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 5, שאלה ראשונה, סעיף 1 ב'

משום מה אין לי אפשרות לפתוח כותרת חדשה - לכן אתייחס כאן לתרגיל 5 שאלה ראשונה חלק ראשון סעיף ב': מה הכוונה ב "תת חבורה הנוצרת ע י" המחלקות של" על ידי שתי המחלקות ביחד? ואם כן אז באיזה אופן היא נוצרת על ידן?

הכוונה לחבורה הנוצרת על ידי שני האיברים הנתונים. הגדרתם בהרצאה חבורה נוצרת על ידי איברים. כאן מדובר בתת חבורה של חבורת המנה. איברי חבורת המנה הם מחלקות שקילות. תת החבורה המדוברת נוצרת על ידי שני איברים, כלומר על ידי שתי מחלקות שקילות. הפעולה בין שני האיברים היא הפעולה של חבורת המנה. --לואי 22:09, 27 בנובמבר 2012 (IST)

תודה רבה! זה מאוד הועיל...

תרגיל 5 שאלה 2 סעיף א

תהי [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] הראו ש [math]\displaystyle{ H \cap Z(G) \subseteq Z(H) }[/math], ותנו דוגמה שבה הכלה זו אמיתית.

הכלה אמיתית, פירושה, הכלה ממש?

כן.--מני 20:24, 29 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה 4(ב) תרגיל 5

" מצאו תת חבורה מאינדקס 3 של S4"- הכוונה למצוא תת חבורה בת שמונה איברים?

כן. --לואי 20:11, 30 בנובמבר 2012 (IST)