שיחה:89-214 תשעג סמסטר א

מה זה [math]\displaystyle{ A_4 }[/math]?

מדובר בתת-חבורה של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] התמורות הזוגיות.

בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ניקח מתטריצה שהמודה ה-i שלה היא [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math] הוא וקטור שרכיב ה-[math]\displaystyle{ \sigma(i) }[/math] שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, [math]\displaystyle{ GL_n }[/math]. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא [math]\displaystyle{ A_n }[/math].

מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.

לדוגמה: מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, [math]\displaystyle{ (ab)(bc)=(abc) }[/math] לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. מחזור באורך 4 אינו זוגי. [math]\displaystyle{ (ab)(bc)(cd)=(abcd) }[/math]