היטל
הגדרה
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:
א. יהי בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)
ב. ההיטל הוא הוקטור המקיים
תרגילים
0
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל
פתרון:
ניקח בסיס אורתוגונלי למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי למרחב כולו.
אזי
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל ממימד n ויהי תת מרחב ממימד k
א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי למרחב V מתקיים
ב. יהי בסיס כלשהו למרחב V ותהי מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
פתרון:
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו לתת המרחב U
אבל וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
ב.
ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי , כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:
לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן
לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי
ולכן
אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן
ולכן כל שנותר להראות הוא כי
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו תתי מרחבים כך ש
א. הוכיחו כי לכל
ב. נגדיר אופרטור ע"י .
הוכיחו כי לכל שני וקטורים מתקיים
פתרון:
א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, ולכן
נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל