משתמש:איתמר שטיין

מתוך Math-Wiki


שאלה 5

סעיף א

דרך א' לפתרון:

היות ו [math]\displaystyle{ \arctan(\frac{y}{x}) }[/math] היא פונקציה אי זוגית לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] (או [math]\displaystyle{ x }[/math]) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל [math]\displaystyle{ y }[/math] (או [math]\displaystyle{ x }[/math]) אז האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

דרך ב', חישוב:

זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.

אם מחליפים

[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta }[/math]

אז נקבל שהתחום החדש הוא [math]\displaystyle{ a\leq r\leq b }[/math] ו [math]\displaystyle{ 0\leq\theta \leq 2\pi }[/math]

הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש [math]\displaystyle{ \arctan(\frac{y}{x})=\theta }[/math].

זה נכון רק כש [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{\pi}{2} }[/math]

בתחום [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{3\pi}{2} }[/math] מתקיים דווקא [math]\displaystyle{ \theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi }[/math]


ולכן נעדיף ש [math]\displaystyle{ \theta }[/math] יהיה בתחום [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] }[/math] ולא [math]\displaystyle{ [0,2\pi] }[/math]

[math]\displaystyle{ \iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r }[/math]

[math]\displaystyle{ = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r =0+0=0 }[/math]