88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/רימן

למשפט רימן 2 חלקים:

א. יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n }[/math] טור מתכנס בהחלט ומתכנס ל- [math]\displaystyle{ S }[/math], אזי, לכל סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הנוצרת משינוי מיקום האיברים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty b_n }[/math] גם הוא מתכנס בהחלט וגם הוא מתכנס ל- [math]\displaystyle{ S }[/math].

ב. יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n }[/math] טור מתכנס על תנאי, אזי, לכל [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ול- [math]\displaystyle{ p=\pm \infty }[/math] קיימת סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הנוצרת משינוי מיקום האיברים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שמתקיים: [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty b_n=p }[/math]

הערה: סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] נוצרת משינוי מיקום האיברים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ \sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} }[/math] כך ש- <math> \forall_{n \in \mathbb{N}}: a_{\sigma (n)} =b_n