שיטות אינטגרציה
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
תוכן עניינים
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
.
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-.
דוגמה
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את .
לפי השיטה, נסמן ,
.
לכן נקבל ,
.
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
.
הרחבה
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את כאשר
.
נבצע הצבה: . מקבלים:
(נזכור כי
, לכן אין צורך בערך מוחלט).
הרחבה
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב .
נזכור כי , ונקבל
.
נקבל בנוסף .
לכן
כמו כן, , ולכן
.
דוגמה
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב . נקבל:
הרחבה
פירוק לשברים חלקיים
הצבות אוילר
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם ו-
.
אוילר 1 - הפולינום פריק
נניח כי הפולינום פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן
.
הצבת אוילר: נציב (אפשר גם את השורש השני). נביע את
באמצעות
, ונוכל למצוא גם את
וגם את
.
דוגמה
ניעזר בהצבת אוילר: נציב . לכן
, כלומר
, ומכאן
. לכן
. בנוסף,
מקבלים:
כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
אוילר 2 - פולינום יותר כללי
ישנן שתי אפשרויות:
- בהינתן
, נציב
.
- בהינתן
, נציב
.
נביע את באמצעות
, ונוכל למצוא את
ואת
.
דוגמה
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב . נעלה בריבוע ונקבל
, כלומר
. לכן
, וכן
.
מקבלים: