תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

הקדמה

יחידות

• זמן – שנייה: [math]\displaystyle{ \mathrm s }[/math]
• מרחק – מטר: [math]\displaystyle{ \mathrm m }[/math]
• מסה – קילוגרם: [math]\displaystyle{ \mathrm{kg} }[/math]
• כוח – ניוטון: [math]\displaystyle{ \mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}} }[/math]
• אנרגיה – ג׳אול: [math]\displaystyle{ \mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m} }[/math]

תזכורות ונוסחאות

• מכפלה וקטורית:
  [math]\displaystyle{ \begin{align}\mathbf u\times\mathbf v&:=(u_yv_z-u_zv_y)\hat\mathbf x+(u_zv_x-u_xv_z)\hat\mathbf y+(u_xv_y-u_yv_x)\hat\mathbf z\\&\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\end{align} }[/math]
• גרדיאנט: [math]\displaystyle{ \nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z }[/math]
• דיברגנץ: [math]\displaystyle{ \nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz} }[/math]
• רוטור/קרל: [math]\displaystyle{ \nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z }[/math]
• לפלסיאן: [math]\displaystyle{ \nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }[/math]

קואורדינטות

עבור [math]\displaystyle{ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \varphi\in(-\pi,\pi]\ \and\ \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math]:

מ־↓ ל־←	קרטזיות	גליליות	כדוריות
קרטזיות		[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\\theta=\arccos(z/\rho)\end{array} }[/math]
גליליות	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=r\cos(\varphi)\\y=r\sin(\varphi)\\z=z\end{array} }[/math]		[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{r^2+z^2}\\\varphi=\varphi\\\theta=\arctan(r/z)\end{array} }[/math]
כדוריות	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)\\y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)\\z=\rho\cos(\theta)\end{array} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\rho\sin(\theta)\\\varphi=\varphi\\z=\rho\cos(\theta)\end{array} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x\gt 0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x\lt 0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases} }[/math].

כמו כן, [math]\displaystyle{ \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm dz=\rho^2\sin(\theta)\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm d\varphi }[/math].