חוג הפולינומים מעל שדה
הגדרה
יהי שדה. ביטוי פורמלי מהצורה
כאשר
ו-
נקרא פולינום במשתנה
מעל
. האיברים
נקראים מקדמי הפולינום.
נניח כי אנו נאמר כי שני פולינומים
הם שקולים אם
עבור
ו-
עבור
. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
כל פולינום שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד
עם
. המספר
נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-
. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות
.
הערה: כל פולינום משרה פונקציה מ-
לעצמו ששולחת את
ל-
. אם השדה
סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
אוסף הפולינומים מעל במשתנה
יסומן ב-
.
מגידירים על
חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
-
(אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
-
הפעולות האלה הופכות את לחוג.
הערה: כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.
תכונות
אם שדה, החוג
הוא תחום אוקלידי. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:
- לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י האלגוריתם של אוקלידס.
-
תחום ראשי, כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0).
-
הוא תחום פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
- פולינום שונה מ-0 הוא אי-פריק אם ורק אם הוא ראשוני.
- כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של
הוא מקסימלי. בפרט, אם
הוא ראשוני (או אי פריק) אז
הוא שדה.