אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן

שאלה 1

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות [math]\displaystyle{ C_1(A),C_2(A),C_3(A) }[/math]

שמקיימות

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} }[/math]

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix} }[/math]

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש [math]\displaystyle{ 7 }[/math] פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש

[math]\displaystyle{ 7^3 }[/math] פתרונות.