שאלה 1
לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות
שמקיימות
כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.
אם נפתור את המשוואה הראשונה
נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש פתרונות.
אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש
פתרונות.
שאלה 2
היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא
.
אם נסמן ב את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם
ולכן
כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על , נגיע ל
.
הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:
ולכן קל לחשב ש
היות ו
נקבל ש
כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על כדי להגיע ל
לכן קל לחשב ש
היות ו נקבל ש
כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:
(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)
שאלה 3
סעיף א
הוכחה: יהי צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.
צריך להוכיח ש .
קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל
היות ו בת"ל. נקבל ש
זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.
קל להסיק ממנה ש
אבל בגלל ש
נקבל ש
בגלל שהמאפיין שונה מ אפשר לחלק ב
ולקבל
כלומר
ומכאן ברור גם .
סעיף ב
לא נכון. נבחר ו
ו
ברור ש
אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם
אבל זה לא נכון. סתירה.
סעיף ג
לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.
דוגמא פשוטה היא המערכת מעל
.
ניקח פתרונות
סכומם
הוא לא פתרון.